Сферическая функция
,
;
;
;
1.
Описывает
угловую зависимость состояния объекта
в сферических координатах
.
2. Описывает вращательное движение в теории излучения и рассеяния волн и частиц, в теории потенциала.
3. Определяется как собственная функция оператора момента импульса и оператора Лапласа.
4. Число l связано с модулем момента импульса.
5.
Число m
связано с проекцией момента импульса
на ось z.
Проекция вектора не может быть больше
его модуля, поэтому
,
для проекции возможны положительные и
отрицательные значения.
6.
Набор
образует полный ортонормированный
базис функций на единичной сфере.
Для получения уравнения сферической функции и ее свойств используется момент импульса.
Момент импульса частицы
В классической механике частица с импульсом p, вращающаяся вокруг точки О по окружности радиусом r, имеет момент импульса
,
где
– мгновенный радиус-вектор
частицы. Направление L
перпендикулярно
и
,
и определяется правилом
правого винта.
В декартовых координатах
,
,
,
.
Формулы переходят друг в друга при циклической перестановке
.
В квантовой механике величины заменяются операторами
,
,
где
набла
– оператор
градиента.
Получаем
.
Оператор градиента
В декартовых координатах
,
(7.1)
где
– орты декартовых координат. Действие
оператора градиента на функцию
дает вектор
.
Вектора показывает направление наибольшего возрастания функции. Модуль вектора равен быстроте увеличения функции при смещении точки вдоль вектора.
Операторы момента импульса
В декартовых координатах получаем 4 оператора
,
,
,
.
(7.2)
Формулы переходят друг в друга при циклической перестановке
.
Предполагается, что правее любого оператора находится функция, на которую действует оператор.
Сферические координаты
,
,
.
(7.3)
Орты декартовых и сферических координат
Оператор градиента в сферических координатах
,
(П.8.1)
где
– орты сферических координат.
Операторы момента импульса
,
(7.4)
.
(7.5)
Оператор Лапласа
Оператор Лапласа определяет кинетическую энергию частицы. В декартовых и сферических координатах имеет вид
,
(7.6)
Радиальная часть оператора Лапласа
(7.7)
определяет кинетическую энергию радиального движения.
Угловая часть оператора Лапласа
определяет энергию вращательного движения. Это слагаемое создает центробежную силу отталкивания от оси вращения, поэтому относится к потенциальной энергии. Этим объясняется знак минус.
Перестановочное соотношение операторов (коммутатор)
Коммутатор определяется в виде
.
Предполагается, что правее каждого слагаемого находится функция, на которую действуют операторы:
.
Выполняются
,
.
Если
,
,
то
операторы
коммутируют,
их можно переставлять во взаимном
произведении, например:
.
В общем случае необходимо следить за
порядком следования операторов.
Физический
смысл коммутатора.
Если операторы коммутируют
,
то соответствующие им физические
величины измеримы одновременно с
неограниченной точностью. Это объясняется
совместимостью физических приборов,
выполняющих измерение. Если операторы
не коммутируют
,
то чем точнее измеряется одна величина,
тем больше неустранимая погрешность
другой величины. Погрешности связаны
соотношением
неопределенностей.
Соответствующие физические приборы,
выполняющие измерения, взаимно не
совместимы.
Для операторов момента импульса выполняются перестановочные соотношения
,
,
,
.
(7.8)
Следовательно,
определенные значения одновременно
имеют квадрат модуля момента импульса
и одна из его проекций, например,
.
При этом остальные проекции становятся
неопределенными.