Сферическая функция

,

; ;;

1. Описывает угловую зависимость состояния объекта в сферических координатах .

2. Описывает вращательное движение в теории излучения и рассеяния волн и частиц, в теории потенциала.

3. Определяется как собственная функция оператора момента импульса и оператора Лапласа.

4. Число l связано с модулем момента импульса.

5. Число m связано с проекцией момента импульса на ось z. Проекция вектора не может быть больше его модуля, поэтому , для проекции возможны положительные и отрицательные значения.

6. Набор образует полный ортонормированный базис функций на единичной сфере.

Для получения уравнения сферической функции и ее свойств используется момент импульса.

Момент импульса частицы

В классической механике частица с импульсом p, вращающаяся вокруг точки О по окружности радиусом r, имеет момент импульса

,

где – мгновенныйрадиус-вектор частицы. Направление L перпендикулярно и , и определяетсяправилом правого винта.

В декартовых координатах

,

,

,

.

Формулы переходят друг в друга при циклической перестановке

.

В квантовой механике величины заменяются операторами

,

,

где набла –оператор градиента. Получаем

.

Оператор градиента

В декартовых координатах

, (7.1)

где – орты декартовых координат. Действие оператора градиента на функциюдает вектор

.

Вектора показывает направление наибольшего возрастания функции. Модуль вектора равен быстроте увеличения функции при смещении точки вдоль вектора.

Операторы момента импульса

В декартовых координатах получаем 4 оператора

,

,

,

. (7.2)

Формулы переходят друг в друга при циклической перестановке

.

Предполагается, что правее любого оператора находится функция, на которую действует оператор.

Сферические координаты

, , . (7.3)

Орты декартовых и сферических координат

Оператор градиента в сферических координатах

, (П.8.1)

где – орты сферических координат.

Операторы момента импульса

, (7.4)

. (7.5)

Оператор Лапласа

Оператор Лапласа определяет кинетическую энергию частицы. В декартовых и сферических координатах имеет вид

, (7.6)

Радиальная часть оператора Лапласа

(7.7)

определяет кинетическую энергию радиального движения.

Угловая часть оператора Лапласа

определяет энергию вращательного движения. Это слагаемое создает центробежную силу отталкивания от оси вращения, поэтому относится к потенциальной энергии. Этим объясняется знак минус.

Перестановочное соотношение операторов (коммутатор)

Коммутатор определяется в виде

.

Предполагается, что правее каждого слагаемого находится функция, на которую действуют операторы:

.

Выполняются

,

.

Если

, ,

то операторы коммутируют, их можно переставлять во взаимном произведении, например: . В общем случае необходимо следить за порядком следования операторов.

Физический смысл коммутатора. Если операторы коммутируют , то соответствующие им физические величины измеримы одновременно с неограниченной точностью. Это объясняется совместимостью физических приборов, выполняющих измерение. Если операторы не коммутируют, то чем точнее измеряется одна величина, тем больше неустранимая погрешность другой величины. Погрешности связанысоотношением неопределенностей. Соответствующие физические приборы, выполняющие измерения, взаимно не совместимы.

Для операторов момента импульса выполняются перестановочные соотношения

,

,

,

. (7.8)

Следовательно, определенные значения одновременно имеют квадрат модуля момента импульса и одна из его проекций, например,. При этом остальные проекции становятся неопределенными.