Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ММФ лекции / Матем.-3

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

708.1 Кб

Скачать

☆

КОНЕЧНОЗНАЧНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ

Функция Хевисайда

При изучении распространения сигнала по проводам Оливер Хевисайд в конце XIX века ввел функцию включения

(3.1)

На рисунках включается в точке , где . При функция , при функция .

Из рисунков получаем

. (3.2)

Из нормировки дельта-функции следует

тогда

, (3.3)

где использовано дифференцирование интеграла по пределу

если , то ;

если , то .

Функция включения позволяет расширить пределы интегрирования. Из определения (3.1) получаем

. (3.4)

Свертку находим с учетом (3.4)

. (3.4а)

В (3.4а) меняем знак аргумента функции и используем (3.4)

. (3.4б)

Дифференцируем (3.4а) и (3.4б)

. (3.5)

Функция знака аргумента

От лат. sīgnum – «знак»

(3.11)

Свойства

Функция нечетная

. (3.12)

Выполняется

кроме точки .

Связь с функцией Хевисайда и дельта-функцией

Графически получаем

, (3.13)

откуда

. (3.13а)

Графически находим

, (3.13б)

тогда с учетом (3.3)

получаем

. (3.14)

Фурье-образ

Используем (1.1)

где для сходимости интегралов при введено

, .

Используем

получаем фурье-образ функции знака

. (3.19)

Из (3.19) и (3.13), (2.35) в виде

получаем фурье-образ функции Хевисайда

. (3.20)

Используем теорему Фурье о парах функций:

если ,

то .

С учетом (3.19) полагаем

, ,

тогда

Используем (3.12) и (3.13а)

получаем

. (3.21)

Прямоугольная функция

Прямоугольная функция симметричная, имеет единичную ширину и высоту. Скачок функции на единицу происходит при :

(3.27)

Произвольная прямоугольная функция

Докажем, что функция симметрична относительно точки c, как показано на рисунке, имеет ширину b и высоту h.

Координату оси симметрии находим из условия на аргумент функции

получаем

Координаты точек скачка находим из условий на аргумент функции

получаем

Ширина функции

Свойства

Функция четная

имеет значения 0 или 1, тогда

, (3.28)

Связи с другими функциями

Используя графики функций, самостоятельно доказать:

Из

получаем

. (3.29)

Выполняется

Доказательство

Сравниваем положения точек скачка функций. Для находим

, .

Результат совпадает со скачками . При обе функции равны единице. При обе функции равны нулю.

Фурье-образ

Используем (1.1) и (3.27)

получаем

. (3.31)

Доказать самостоятельно

, (3.32)

. (3.33)

функция sinc

Название от термина «синус»

. (3.35)

Согласно (3.31) является Фурье-образом прямоугольной функции

Оптическое преобразование Фурье, осуществляемое тонкой линзой, как описано на первой лекции, применяем к функции . Она моделирует щель шириной 1, через которую идет световая волна, как показано на рисунке. Функция описывает амплитуду дифрагированной по Фраунгоферу волны на щели единичной ширины.

Амплитуда дифракция на щели

Для щели шириной получаем

, (3.35а)

Чем шире щель, тем ближе к началу координат нули ее спектра, и наоборот, в соответствии с теоремой Фурье о частотной полосе.

Функция четная

Нули функции при

Выполняется

Из (3.35) с учетом «замечательного предела» получаем

. (3.36)

Числовой расчет дает положения и величины экстремумов

\|x\|	0	1,43	2,46	3,47
	1	–0,22	0,13	–0,09

Фурье-образ

Спектр является прямоугольной функцией, равной единице в полосе и нулю вне этой полосы

. (3.41а)

Доказательство

Используем теорему Фурье о парах функций:

если ,

то .

Полагаем

используя (3.31)

берем

Учитываем

и получаем (3.41а).

Доказать самостоятельно

. (3.41б)

При из (3.41б) следует, что функция имеет спектр равный единице в полосе , и нулевой вне этой полосы.

Из (3.41б) при получаем

. (3.38)

Площадь под кривой равна единице.

Из (3.32)

при находим

. (3.37)

Усреднение функции

Среднее по интервалу Т около точки x равно сумме значений функции в указанном интервале, деленное на ширину интервала:

. (3.42)

Выражаем (3.42) через прямоугольную функцию. Используем (3.27)

находим

Получена прямоугольная функция величиной 1 в интервале шириной T с центром в точке a. Вне этого интервала функция равна нулю. При получаем интервал интегрирования в (3.42), тогда

Последний интеграл является сверткой, тогда

. (3.42а)

Усреднение функции по интервалу шириной Т является сверткой функции с прямоугольной функцией шириной Т.

Фурье-образ усредненной функции

При усреднении функции по интервалу Т ее Фурье-образ модулируется функцией

. (3.42б)

Чем меньше интервал усреднения, тем сильнее меняется спектр при удалении от точки .

Доказательство

Используем (3.42а)

По теореме Фурье о свертке (1.24)

с учетом (3.32)

получаем (3.42б).

Треугольная функция

Обозначается буквой Λ – «лямбда» греческого алфавита

(3.43)

Площадь под графиком функции равна единице

Связь с прямоугольной функцией

1. Свертка прямоугольных функций является треугольной функцией

. (3.43а)

Доказательство

где для использовано

Последний интеграл по единичному интервалу вокруг точки x вычисляется с помощью рисунка.

Толстая линия длиной 1 с центром в точке x показывает интервал интегрирования. Площадь перекрытия, показанная серым цветом, равна . При равномерном перемещении интервала интерирования от до увеличивается площадь перекрытия равномерно от 0 до 1 и дает график .