Частные случаи

1. При из(П.5.10)

,

находим

,

. (П.5.11а)

С учетом

, ,

и (П.5.11а) получаем теорему вириала (от лат. сила)

.

В результате среднее значение кулоновской потенциальной энергии в два раза превышает полную энергию Е, а кинетическая энергия равна модулю полной энергии

.

2. При из(П.5.10)

с учетом (П.5.11а)

получаем

.

Находим среднее расстояние

, (П.5.11б)

совпадающее с (П.5.8).

3. При находим

. (П.5.11в)

Соотношение (П.5.10) не позволяет найти .

Полиномы Лежандра

, ; ; ;

– описывают угловую зависимость в полярных и сферических координатах;

– входят в собственные функции оператора момента импульса и оператора Лапласа;

– множество образует ортонормированный базис на интервале.

Полиномы исследовал Лежандр в 1785 г. Обозначены по первой букве англ. polynomial – полином.

Андре Мари Лежандр (1752–1833)

Уравнение Лежандра

(6.93)

Первые два слагаемые объединяем

,

тогда

. (6.93а)

С учетом области определения вводим угловую переменную

, ,

, .

Уравнение (6.93а) для получает вид

. (6.94)

Решение уравнения методом факторизации

1. Уравнение (6.93)

относится к гипергеометрическому типу

2. .

   Сравнение со стандартной формой

дает

,

, ,,,

, ,

,

,

, ,

,

.

3. Граничные условия

в виде

дают область определения

, .

4. Весовая функция

,

.

5. Решение Родрига

дает

.

Полагаем

,

получаем форму Родрига для полинома Лежандра

. (6.96)

Свойство четности

, (6.97)

тогда

, n – нечетное.

6. Ортонормированность

, .

Учитываем

, ,,

, ,,

,

,

,

где использовано (П.2.3)

при ,,. Получаем условие ортонормированности

. (6.112)

7. Производящая функция

,

с учетом

получает вид

.

Уравнение для ξ

, ,

где имеет вид

.

Находим решение

,

где выбор знака + перед корнем обеспечивает требуемое поведение , действительно

.

Использовано

, .

Из

,

с учетом

,

получаем

.

Заменяем , тогда

, (6.101)

. (6.102)

Форма полинома

Форму Родрига (6.96)

приведем к виду полинома. Используем бином Ньютона

1. При ,получаем

.

Дифференцируем n раз

.

Из (6.96)

находим первую полиномиальную форму

. (6.98)

Следовательно, n – порядок полинома. При из (6.98) получаем

, . (6.98а)

Выражения (6.96) и (6.98) не позволяют простым путем найти значения полинома Лежандра при . Для этого получим вторую полиномиальную форму с аргументом.

2. Преобразуем

.

Для второго множителя используем бином Ньютона

,

при ,, получаем

тогда

,

.

Из (6.96)

находим

.

Заменяем , и получаемвторую полиномиальную форму

. (6.99)

Из (6.99) находим значения полинома на границах области определения при

, . (6.100)