Квантовые числа электрона в атоме

N – радиальное квантовое число равно числу нулей радиальной части волновой функции. Возможные значения

(6.87а)

n – главное квантовое число определяет энергию электрона

,

где возможные значения

следуют из (6.87а) и .

l – орбитальное квантовое число, определяет модуль момента импульса электрона

.

При заданном значении n возможные значения

.

Максимальное значение следует из (6.87а)при.

–число проекций орбитального момента на ось z при заданном значении l. Нечетность числа проекций

следует из симметрии проекций при замене знака и из наличия нулевой проекции.

Решения для низших значений квантовых чисел

Наиболее устойчивым является состояние электрона с наименьшей энергией, называемое основным состоянием. Состояния с большей энергией называются возбужденными. За счет электромагнитных флуктуаций электрон самопроизвольно переходит в состояние с меньшей энергией, испуская избыток энергии в виде кванта – фотона.

Основное состояние

, ,,,.

Из (6.87)

с учетом

, ,

получаем функцию основного состояния

.

Первое возбужденное состояние

, ,,,.

С учетом

, ,

находим

,

Первое возбужденное состояние вырождено, т. е. энергия одинакова для разных l и равных n и, а функции состояний отличаются. Например, для

, ,,,

с учетом

, ,

находим

.

На рисунке показаны графики функций

.

Нормировка вероятности

Вероятность обнаружения электрона в шаровом слое радиусом r единичной толщины равна

.

Вероятность найти электрон во всем пространстве равна единице, это дает условие нормировки радиальной функции с учетом радиального объема в сферических координатах

, ,

.

Для безразмерной получаем

. (6.88)

Докажем, что решение (6.87)

удовлетворяет (6.88). С учетом левая сторона (6.88) равна

. (6.88а)

Вычисляем интеграл, используя (6.76):

при

, .

Находим

.

Подстановка результата в (6.88а) дает (6.88).

Рекуррентные соотношения

1. Рекуррентное соотношение (6.58) для полиномов Лагерра с одинаковыми порядками α

умножаем на

.

С учетом (6.87)

,

, ,

получаем соотношение между функциями с одинаковым орбитальным числом l

– . (6.89)

2. Используя (6.59)

,

находим

,

.

Результаты подставляем в исходное равенство

.

Заменяем

, ,

получаем

.

Умножаем слагаемые на

,

и сравниваем с (6.87)

,

приходим к соотношению, где индекс l у функции, стоящей слева, на единицу меньше, чем у функций, стоящих справа:

–. (6.90)

3. Рекуррентное соотношение (6.57)

умножаем на x и используем (6.61)

,

находим

.

Выражаем с помощью (6.58)

,

заменяем и получаем

.

Полагаем ,, умножаем слагаемые на

,

находим соотношение, где индекс l у функции, стоящей слева, на единицу больше, чем у функций, стоящих справа:

. (6.91)

4. Дифференцируем (6.87)

,

используем (6.54)

,

получаем

.

Используем рекуррентные соотношения (6.58)

и (6.61)

,

которые убирают множитель x из круглой скобки и выравнивают верхний индекс:

.

В результате получаем

– . (6.92)

Вычисление матричных элементов

Матричный элемент оператора между состояниями и определяется в виде

, (1)

Для электрона в атоме водорода функции вещественные.Диагональный матричный элемент является средним значением величины F, описываемой оператором :

.

ПРИМЕРЫ

1. Найдем среднее расстояние электрона от ядра в состоянии с квантовыми числами .

С учетом оператора радиуса и радиального объема , находим

,

где сделана замена

.

Вычисляем интеграл с помощью рекуррентного соотношения (6.89), устраняющего x под интегралом:

– ,

и условия ортонормированности (6.86)

.

При возведении в квадрат рекуррентного соотношения и интегрировании, условие ортогональности зануляет перекрестные произведения благодаря символу Кронекера . Остается сумма квадратов слагаемых

.

С учетом (6.86)

получаем

,

,

.

Для

находим

.

Приведение подобных дает среднее расстояние электрона от ядра в состоянии

. (П.5.8)

При увеличении энергии электрона растет главного числа n и увеличивается . При увеличении орбитального момента возрастает орбитальное числоl, и эксцентриситет эллиптической орбиты, в результате среднее расстояние до ядра уменьшается.

2. Рекуррентное соотношение Крамерса связывает средние расстояния электрона от ядра в разных степенях

, (П.5.10)

где

; .

Доказательство

• Интегрируем

по частям, где

, .

Свободное слагаемое обращается в нуль с учетом (6.87)

.

Получаем в виде

,

тогда

.

В результате

.

• Интегрированием по частям аналогично находим

,

,

где

.

• Используем уравнение Шредингера для радиальной функции (П.5.11)

.

Умножаем уравнение на , интегрируем, используем полученные ранее соотношения

,

,

,

,

,

и находим

.

Умножаем уравнение Шредингера (П.5.11) на , интегрируем и аналогично получаем

.

• Исключая S из уравнений, получаем соотношение Крамерса (П.5.10).