Вычисление матричных элементов
1. Для матричного элемента оператора координаты линейного гармонического осциллятора доказать
,
(П.4.6)
где
.
Для
оператора
вычисляем матричный элемент
.
Для
нахождения интеграла воспользуемся
формулой ортонормированности базиса
.
Для этого нужно устранить множительz
под интегралом. Используем рекуррентное
соотношение (6.34)
,
тогда
с учетом
.
Получаем
.
Используем условие ортонормированности (6.33)
,
получаем (П.4.6)
.
В частности
,
,
,
.
(П.4.7)
Колебания осциллятора происходят симметрично относительно нулевой координаты, поэтому среднее положение равно нулю в любом состоянии.
Матричные элементы (П.4.6) вещественные, тогда из (4а)
получаем матрицу перехода, симметричную относительно главной диагонали:
.
2.
Для оператора импульса
найти матричный
элемент линейного
гармонического осциллятора
,
где
для
.
Интеграл
в 
сведем к формуле ортонормированности
после устранения
производной под интегралом. Для этого
используем рекуррентное соотношение
(6.39)
.
Получаем
.
Вычисляем интегралы при помощи условия ортонормированности
,
находим
.
Частные результаты:
,
,
.
Матричный элемент импульса
.
(П.4.11)
Частные значения
при
:
,
при
:
,
при
,
:
,
при
,
:
,
,
среднее значение
.
(П.4.12)
Среднее значение проекции импульса осциллятора в любом состоянии равно нулю, что очевидно из симметрии колебаний по- и против оси x.
Пример 1 Доказать, что преобразование Фурье не изменяет форму уравнения гармонического осциллятора.
Выполняем Фурье-преобразование уравнения (6.31)
.
Используем линейность преобразования и теорему Фурье о дифференцировании (1.35)
,
и теоремы Фурье об умножении на аргумент (1.37)
.
Получаем
.
Заменяем
и приходим к уравнению
,
(П.4.14)
аналогичному (6.31)
.
Использован безразмерный импульс
и
Фурье-образ функции
.
(П.4.15)
Пример 2
Для полиномов Эрмита доказать формулу Мелера
,
(П.4.20)
где
.
Показать, что при
из (П.4.20) следует
условие
полноты базиса
полиномов Эрмита
.
(П.4.21)
Используем интегральное представление полиномов Эрмита (6.8)
,
.
Подставляем в левую сторону (П.4.20) и меняем порядок суммирования и интегрирований
.
Вычисляем сумму
,
тогда
.
Используем (П.2.5)
при
,
,
,
и вычисляем внутренний интеграл
,
тогда
.
(П.4.20а)
При помощи (П.2.5)
,
где
,
,
,
находим интеграл
,
.
Получаем
.
В результате доказано (П.4.20)
.
При
последний вычисленный интеграл дает
дельта-функцию
,
где учено интегральное представление дельта-функции (2.24)
.
Из (П.4.20а)
при
получаем
условие
полноты базиса
полиномов Эрмита
.
(П.4.21)
Для
функций гармонического осциллятора
,
где
,
(6.32)
из (П.4.21) получаем условие полноты базиса функций гармонического осциллятора
.
(П.4.22)
Доказательство (П.4.22)
Из (6.32) выражаем
,
подставляем в (П.4.21) и получаем (П.4.22).