Матрица перехода между состояниями

Множество состояний осциллятора с разным числом квантов энергии образует дискретный ортонормированный базис функций . Возмущение, действующее на систему, описывается оператором . Он переводит систему из некоторого начального состояния , в общем случае, во множество состояний с разной вероятностью. Совокупность дискретных состояний системы и результатов воздействия на них выражают:

матрица начального состояния

,

матрица конечного состояния

,

матрица перехода

.

Действие оператора описывается уравнением

,

или

.

Матричный элемент

Матричный элемент является мерой перехода системы между состояниямипод действие оператора. По индексампереход происходитсправа налево, k – начальное состояние, n – конечное состояние.

В пространстве функций с базисом , определенном на интервале (A, B), и весовой функцией матричный элемент оператора определяется скалярным произведением конечногои начальногосостояний

, (1)

где A, B, – вещественные.

Физический смысл матричного элемента

Диагональный матричный элемент

есть среднее значение величины f, описываемой оператором , в состоянии .

Недиагональный матричный элемент

есть амплитуда вероятности перехода между состояниями под действием оператора.

Вероятность перехода равна квадрату модуля матричного элемента

.

Матричные элементы являются измеримыми величинами. Рассмотрим частные случаи оператора .

Операторы координаты и импульса

Любая физическая величина, кроме времени, описывается в квантовой механике оператором. В частности, операторы координаты и импульса равны

,

,

где – постоянная Планка. Для безразмерной координатыполучаем

, ,

, .

Эрмитовый оператор

Оператор физической величины эрмитовый, т. е. удовлетворяет:

, (2)

где «+» – операция эрмитового сопряжения. В некотором смысле является обратным оператором по отношению к. Условие (2) обеспечивает вещественность собственных значений оператора, т. е. результатов измерения соответствующей физической величины.

Эрмитово сопряжение оператора возникает при его переносе в скалярном произведении от одной функции к другой функции

,

.

Эрмитовый оператор, удовлетворяющий , переносится в скалярном произведении функций от одного сомножителя к другому без изменения

,

. (3)

Соотношения между матричными элементами

1. Для эрмитового оператора выполняется

. (4)

Следовательно, комплексное сопряжение матричного элемента обращает направление перехода между состояниями, т. е. обращает течение времени:

.

Доказательство

С учетом (1)

,

получаем

.

Третье равенство получено из условия эрмитовости (3)

.

Следствия

Если матричные элементы вещественные, тогда из (4)

получаем

. (4а)

Матрица перехода с вещественными элементами симметрична относительно главной диагонали.

Если матричный элемент мнимый, тогда из (4) находим

. (4б)

Матрица перехода с мнимыми элементами антисимметрична относительно главной диагонали.

2. Матричный элемент произведения эрмитовых операторов выражается через матричные элементы каждого из них по правилу Фейнмана

(5)

– переход под действием произведения операторов происходит через все возможные промежуточные состояния k, в которых оказывается система под действием оператора .

При доказательстве (5) используется полнота базиса функций состояния и фильтрующее свойство дельта-функции (см. учебник).