Осциллятор в квантовой теории

В квантовой теории спектр энергии эквидистантный

,

Уровню энергии n сопоставляются n квантов энергии . Минимальная энергия осциллятора с нулевым числом квантов, или энергия вакуума.

Уравнение Шредингера

Состояние стационарной системы с энергией Е описывается волновой функцией

.

Ее получают из уравнения Шредингера

.

Для осциллятора используем (6.30б)

,

получаем

.

Требуется решить уравнение и получить .

Упрощаем уравнение, переходя к безразмерной координате:

,

где

– амплитуда колебаний классического осциллятора с энергией , тогда

, ,

,

Для

,

с учетом

,

получаем уравнение обобщенного гипергеометрического типа

, (6.31)

Для этого уравнения методом факторизации ранее получено решение (П.3.6)

. (6.32)

Из (6.3)

и (6.32) находим

.

Четность функции состояния совпадает с четностью номера состояния n.

–основное состояние – четное,

–первое возбужденное состояние – нечетное.

Получим постоянную в (6.32), используя свойства функции состояния.

Физический смысл функции состояния

Квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности обнаружения частицы, т. е. вероятности ее обнаружения в единичном интервале координат около точки z:

Вероятность найти частицу в интервале

.

Вероятность найти частицу во всем пространстве

.

Для осциллятора вещественно и, тогда получаем условие нормировки функции состояния

.

Условие ортонормированности

Из (П.3.7)

,

полученного методом факторизации, следует

,

тогда

, .

Условие ортонормированности получает вид

,

где x – безразмерная координата. В результате

,

. (6.32а)

С размерной координатой условие ортонормированности

. (6.33)

Учитываем

, ,.

Из (6.32а) находим основное состояние с наименьшей энергией

, (6.33а)

и первое возбужденное состояние с энергией

. (6.33б)

Графики функций ,ипоказаны на рисунке.

В точках поворота (6.30а)

классический осциллятор с полной энергией останавливается. Подставляем и получаем

, ,

, ,.

Точки поворота показаны на рисунке черными кругами. Классическая частица не может их перейти. Для квантовой частицы решение за пределами этих точек не равно нулю. Следовательно, квантовую частицу можно обнаружить в области, не доступной классической частице. Это явление называетсятуннельным эффектом. Оно основано на соотношении неопределенностей Гейзенберга, которое следует из теоремы Фурье о частотной полосе – чем уже область, доступная для движения частицы, тем больше неопределенность ее импульса. За счет флуктуации импульса частица продвигается в область с большей потенциальной энергией, чем ее исходная полная энергия.

Рекуррентные соотношения для

1. Используем рекуррентное соотношение для полиномов Эрмита (6.15)

.

Умножаем слагаемые на

.

Используем (6.32)

,

где

,

тогда

,

.

Получаем

. (6.34)

Рекуррентное соотношение (6.34) устраняет множитель x перед функцией .

2. Функцию (6.32)

дифференцируем

.

Учитываем (6.12)

,

,

,

получаем

. (6.35)

Рекуррентное соотношение устраняет дифференцирование функции .Из (6.35) находим

. (6.36)

Оператором понижения номера состояния путем уничтожения кванта энергии является .

3. Из (6.34)

выражаем

.

Подстановка в (6.35)

дает

. (6.37)

Из (6.37) находим

. (6.38)

Оператором повышения номера состояния путем рождения кванта энергии является .

4. Складываем (6.37)

и (6.35)

,

получаем

. (6.39)

Рекуррентное соотношение (6.39) устраняет дифференцирование функции .

Полученные соотношения используются при вычислении матричных элементов.