Разложение функции по базису полиномов Эрмита

Если определена при, то она разлагается по базису:

. (6.19)

Для нахождения коэффициента :

• умножаем левую и правую стороны (6.19) на ;

• интегрируем по интервалу ;

• меняем порядок суммирования и интегрирования;

• учитываем ортонормированность (6.18);

• символ Кронекера снимает сумму и оставляет одно слагаемое.

.

Заменяем и получаем коэффициент разложения

.

• Подставляем полином в форме Родрига (6.2)

,

получаем

.

• Интегрируем по частям m раз. Свободные слагаемые зануляются на обоих пределах за счет . Получаем коэффициент

. (6.20)

Интегралы с полиномами Эрмита

1. Вычисляем

.

Учитываем четность (6.3)

.

Если – нечетное, тогда

.

Если – четное, то в подставляем форму Родрига (6.2)

.

Выражение

интегрируем по частям, полагая

, ,

, .

Свободное слагаемое

дает нуль на обоих пределах. Получаем

.

Степень оператора понизилась на единицу. После интегрирования по частямm раз находим

учтено

.

Используем (4.9)

при ,,и находим

.

Учитываем (4.11)

,

тогда

.

В результате

, – четное. (6.21)

Частные случаи (6.21)

При с учетомполучаем

, (6.21а)

При

, (6.22)

Из (6.22) при инаходим

, (6.23)

. (6.24)

В формуле (6.22)

,

заменяем , где. Преобразуем правую сторону

.

Для гамма-функций вблизи полюсов используем (4.4) в виде

.

При , ,, получаем

.

В результате (6.22)

при замене дает

, . (6.25)

Из (6.25) при иполучаем

, (6.26)

. (6.27)

2. Вычисляем

,

Интеграл приводим к виду (6.22)

,

используя для полиномиальную форму (6.4)

.

Переставляем суммирование и интегрирование

.

В (6.22)

, ,

заменяем

.

В результате

=, (6.28)

где знаменатели с факториалами ограничивают .

Частные случаи (6.28)

При ,получаем нормировку полиномов Эрмита

. (6.29)

При ,с учетом

, ,,

находим

. (6.29а)

При ,с учетомполучаем

. (6.29б)

Гармонический осциллятор

От лат. oscillatio – «качание». Система колеблется по гармоническому закону.

Осциллятор в классической теории

Шарик массой μ подвешен на упругой пружине с коэффициентом жесткости k. Трение и сила тяжести пренебрежимо малы. При смещении на z от положения равновесия действует возвращающая упругая сила. Возникают периодические колебания с частотой ω и с полной энергией

,

где

.

При отклонении на z от положения равновесия проекция упругой силы

создает ускорение

.

Второй закон Ньютона

дает уравнение движения

,

где частота колебаний

, ,

тогда

.

Решение уравнения имеет форму колебаний

,

где – амплитуда;– начальная фаза;– текущая фаза.

При максимальном смещении шарик останавливается

,

тогда полная энергия

равна

.

Полная энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты, и может быть любой величины. Спектр энергии непрерывный. Амплитуда колебаний

. (6.30а)

Квадрат импульса

. (6.30б)