Полиномы Чебышева второго рода
,
;
– порядок полинома
Определяем
.
(6.161)
Тригонометрическое представление
Для полинома Чебышева первого рода используем тригонометрическое представление (6.151)
.
Учитываем
,
из (6.161) получаем
.
(6.162а)
Подстановка
даеттригонометрическое
представление
.
(6.162б)
Расширение области определения
Выражение
(6.162а) применимо при
.
Расширим область до
.
В (6.162б) используем формулу Эйлера
,
,
получаем
.
Замена
,
,
,
дает
.
(6.162в)
Формула
(6.162в) применима при
.
Рекуррентное соотношение
Тригонометрическое равенство
делим
на
и полагаем
.
Учитываем (6.162а)
,
и получаем
.
(6.163)
Частные значения
Из
,
,
,
,
и (6.161)
находим
,
.
Из (6.163)
,
получаем
,
.
Уравнение
Уравнение Чебышева (6.146)
-
,
дифференцируем
.
Используем (6.162)
-
,
тогда
,
в результате находим уравнение для полиномов Чебышева второго рода
.
(6.165)
Уравнение относится к гипергеометрическому типу.
Метод факторизации
Стандартное уравнение гипергеометрического типа
-
.
Сравнение с (6.125) дает
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Весовая функция
-
,
получает вид
.
Решение Родрига
дает
.
Полагаем
,
получаем полином Чебышева второго рода
.
(6.166)
Условие ортонормированности
-
,
.
Учитываем
,
,
,
получаем
базис функций 
,
где
,с условием
ортонормированности
.
(6.167)
Разложения функции по полиномам
Функция,
определенная при
,
разлагается
по полиномам
Чебышева
,
.
(6.168)
Используя ортонормированность (6.149) и (6.167)
,
стандартным
методом с учетом
,
находим коэффициенты
,
,
,
.
(6.169)
Аппроксимация полиномом
Исследуемая функция заменяется более простой функцией – полиномом. Отклонение полинома от функции не должно превосходить определенного предела для заданного интервала, вне этого интервала отклонение быстро увеличивается. Эту задачу решают полиномы Чебышева.
Полиномы Чебышева первого рода
на
интервале
ограничены
.
Согласно (6.153)
,
при
полиномы возрастают с увеличениемn
как геометрическая прогрессия
,
.
Среди
всех полиномов степени n,
нормированных на одинаковый старший
коэффициент, полиномы Чебышева ведут
себя экстремально – они наименее
отклоняются от нуля на интервале
и максимально – вне этого интервала.
Фильтр нижних частот F(,0)
Фильтр задерживает частоты выше порогового значения 0. Идеальный фильтр описывается функцией
показанной пунктиром на рисунке. Приближается к идеальному фильтру
.
(6.172)
При
,
получаем идеальный фильтр.
Фильтр
нижних частот:
,
и
Из
частных случаев
видно, что чем большеn,
тем быстрее уменьшается функция при
.
Чем меньше
,
тем ближе к единице коэффициент
пропускания сигнала при
.