Полиномы низших порядков

Из (6.96) и (6.98)

,

получаем

,

,

,

,

.

Рекуррентные соотношения

Используем выражение и определение производящей функции

, (6.101)

. (6.102)

1. Дифференцируем (6.101) по x и получаем

,

или

.

Подставляем (6.102)

,

приравниваем коэффициенты при

,

получаем

. (6.103)

2. Дифференцируем (6.101)

по t

,

или

.

Подставляем (6.102)

,

получаем

.

Сравниваем коэффициенты при t ⁿ

,

приводим подобные и получаем

. (6.104)

3. Дифференцируем (6.104)

. (6.104а)

4. Исключаем из (6.104а) и (6.103)

,

находим

. (6.105)

5. Исключаем из(6.104а) и (6.103)

. (6.106)

6. В (6.106) заменяем

.

Исключаем с помощью (6.105)

, (6.107)

7. Складываем (6.106) и (6.105)

. (6.110)

Ортонормированность

Проверим выполнение условия ортонормированности (6.112)

,

используя выражение полинома в форме Родрига (6.96)

и полиномиальную форму (6.98)

.

Получаем

.

Интегрирование по частям m раз дает нуль при . Следовательно,иортогональны при. При,получаем

,

где использовано

.

Выполнение (6.112) подтверждено.

Разложение функции по полиномам Лежандра

Функцию , определенную при, разлагаем по базису

. (6.113)

Для нахождения коэффициентов умножает (6.113) на, результат интегрируем по интервалуи учитываем ортонормированность (6.112)

.

Получаем

.

После замены находим коэффициент

.

Подстановка формы Родрига (6.96)

,

дает

.

Интегрируем по частям n раз. Свободные слагаемые зануляются на обоих пределах. Получаем

. (6.114)

Соотношение Лежандра

Обратное расстояние между двумя точками входит во многие выражения теории электромагнитного поля, например, в потенциал заряда. Представим его через полиномы Лежандра.

Векторы r и r₀ выходят из одной точки под углом  друг к другу. Выполняется соотношение

, . (П.6.4)

Доказательство

Учитываем определение скалярного произведения векторов

,

и определение модуля вектора

.

Замена

,

дает

.

Сравниваем с производящей функцией полиномов Лежандра (6.101) и (6.102)

,

.

Находим

.

Замена идает (П.6.4)

, .

При для сходимости ряда заменяем в (П.6.4)

, . (П.6.4а).

Разложение потенциала диполя по мультипóлям

Мультипóли – конфигурация точечных источников, от лат. multum – много, и греч. – полюс. Точечный заряд – мультиполь нулевого порядка, диполь – мультиполь первого порядка. Разложим поле диполя по полям точечного заряда.

Потенциал поля диполя в точке A в СГС

.

Положения зарядов относительно точки симметрии O определяем векторами и, положение точки наблюденияA – вектором .

При выполняется разложение

, (П.6.6)

где –мультиполя нулевого порядка; – степень разложения; θ – угол между направлениемдипольного момента и направлением на точку наблюдения.

Доказательство

Используем

, ,

тогда

, .

Используем (П.6.4)

,

.

Учтено, что при замене выполняется

, ,

.

Вычитаем друг из друга последние выражения и находим

.

Четные слагаемые сокращаются, нечетные слагаемые удваиваются и дают (П.6.6)

.

На большом расстоянии от диполя при главный вклад вносит первое слагаемое

, (П.6.7)

где ;–дипольный момент.