Нахождение коэффициентов

Решаем систему алгебраических уравнений (9.17) и (9.18)

,

.

Из (9.17) выражаем

,

подставляем в (9.18)

,

находим

,

, (9.19)

где определитель Вронского

. (9.20а)

Свойства определителя Вронского

1. Определитель Вронского выражается через коэффициенты иуравнения (9.1)

в виде

. (9.20б)

Доказательство:

Уравнение (9.1) для частных решений умножаем слева

,

.

Взаимно вычитаем

,

получаем уравнение

.

Интегрирование дает (9.20б).

2. Для линейно зависимых решений определитель Вронского равен нулю.

Доказательство:

Если решения однородного уравнения линейно зависимые

,

тогда

.

Юзеф Мария Вроньский (1776–1853)

Имя по рождению Юзеф Хёне, сменил фамилию в 1811 г. Польский математик и философ-мистик, артиллерийский офицер, служил в штабе А.В. Суворова до 1797 г. Изучал юридические науки, историю философии и математику в Германии и Франции. Функциональный «определитель Вронского» ввел в 1812 г.

Соотношение между решениями и

Если , то решенияилинейно независимые и связаны соотношением:

. (9.21)

Доказательство:

Используем (9.20а)

,

получаем

.

Интегрируем

и получаем первое равенство (9.21).

Подставляем (9.20б)

и получаем второе равенство (9.21).

Решение неоднородного уравнения

Для уравнения (9.3)

получено частное решение (9.16)

.

Производные коэффициентов удовлетворяют (9.19)

,

.

Для нахождения иинтегрируем (9.19). Произвол выбора постоянных интегрирования устраним путем наложенияграничных условий на концы интервала определения (A, B) аргумента x. В результате решения , и зависят от граничных условий. Рассмотрим частные случаи.

Вариант 1 граничных условий

На область определения решения накладываем условие на в точкеA, на – в точкеB. Произвол в выборе ине должен влиять на решение, тогда с учетом(9.16)

,

получаем

, . (9.21а)

Интегрируем (9.19)

, ,

выбирая пределы, обеспечивающие выполнение (9.21а):

,

.

Находим решение (9.16) неоднородного уравнения

. (9.22)

Сравниваем (9.22) с интегралом Дюамеля (9.6)

,

получаем

(9.23)

Функция Грина является результатом «сшивания» при произведений линейно независимых решений однородного уравнения.

Вариант 2 граничных условий

Граничные условия на y₁ и y₂ накладываем в точке B. Точка A не влияет на результат, если , тогда

, .

Из (9.19)

, .

получаем

,

.

Решение (9.16)

сравниваем с интегралом Дюамеля (9.6)

,

и находим

. (9.24)

При получаем.

Если – время, то условиеприозначает выполнениепринципа причинности – реакция системы в момент t не может предшествовать возмущению в момент . Следовательно, вариант 2 граничных условий соответствует выборузапаздывающей функции Грина, отличной от нуля только, если реакция системы происходит позже воздействия на нее.

Уравнение Лиувилля

Если в уравнении

коэффициенты исвязаны соотношением

, (9.24а)

тогда

,

и получаем уравнение Лиувилля

. (9.24б)

Таким уравнением является волновое уравнение Гельмгольца и уравнение Пуассона.

Жозеф Лиувилль (1809–1882)

– французский математик. Исследовал линейные дифференциальные уравнения второго порядка с краевыми условиями – «задачу Штурма–Лиувилля». Построил теорию трансцендентных чисел и эллиптических функций. Доказал «теорему Лиувилля» в механике.