matlogta

Ÿ2.7. Скулемизация алгебраических систем

Âэтом параграфе мы определим конструкцию, предложенную Скулемом и позволяющую расширять сигнатуру данной алгебраической системы так, чтобы появилась возможность убирать кванторы у формул. Необходимость такого преобразования объясняется тем, что работать с формулами, содержащими кванторы, значительно трудней, чем с бескванторными. В следующем параграфе будет изложен метод резолюций в исчислении предикатов, использующий скулемизацию.

Алгебраическая система A = hA; Σi называется обогащением ал-

гебраической системы A0 = hA0; Σ0i, åñëè A = A0, Σ ¶ Σ0 и совпадают интерпретации всех сигнатурных символов из Σ0 в системах A è A0.

Если система A сигнатуры Σ является обогащением системы A0 ñèã- натуры Σ0, òî A0 называется обеднением алгебраической системы A è

обозначается через A ¹ Σ0.

П р и м е р 2.7.1. Система A = hZ; +; ¢; 0; 1i является обогащением системы B = hZ; +; 0; 1i, а система C = hZ; +; 0i обеднением

системы B. ¤

Пусть Σ некоторая сигнатура, ΣS сигнатура, полученная из Σ

добавлением:

а) новых константных символов c' для каждой формулы ' сигнатуры Σ, имеющей вид 9x0 Ã(x0);

б) новых n-местных функциональных символов f' для каждой фор-

ìóëû ' = 9x0 Ã(x0; x1; : : : ; xn) сигнатуры Σ, имеющей n > 0 свободных переменных. S

Тогда сигнатура Σ называется скулемизацией сигнатуры Σ.

Через S(Σ) обозначим множество следующих предложений сигна- òóðû ΣS, называемых аксиомами Скулема:

à) 9x0 Ã(x0) ! Ã(c') для каждой формулы ' = 9x0 Ã(x0) сигнатуры Σ;

á) 8x1 : : : xn(9x0 Ã(x0; x1; : : : ; xn) ! Ã(f'(x1; : : : ; xn); x1; : : : ; xn)) äëÿ

каждой формулы ' = 9x0 Ã(x0; x1; : : : ; xn) (n > 0) сигнатуры Σ. Согласно аксиомам Скулема из существования элемента, который

можно подставить вместо переменной x0 в формулу Ã, следует возможность подстановки значения некоторой функции f' (константы c'), зависящего от оставшихся свободных переменных.

Åñëè A алгебраическая система сигнатуры Σ, то любое ее обогащение AS = hA; ΣSi, являющееся моделью множества S(Σ), называ-

ется скулемизацией системы A. Возникающие при обогащении кон-

станты и операции, соответствующие символам c' è f', называются

скулемовскими константами и скулемовскими функциями.

51

Отметим, что в отличие от ΣS è S(Σ) скулемизация AS не опреде-

âîë c' может быть проинтерпретирован как 0 èëè êàê 1, посколь-

êó A j= P (0) è A j= P (1). Для функционального символа f'0, ãäå '0 - 9x0R(x0; x1), возможны интерпретации f'0 = f(0; 0); (1; 0)g èëè

f'0 = f(0; 0); (1; 1)g. ¤

Предложение 2.7.1. Любая алгебраическая система A имеет некоторую скулемизацию AS.

В следующем параграфе при работе с методом резолюций нам предстоит с помощью скулемизации снимать кванторы с формул, находящихся в предклазуальной нормальной форме. Говорят, что формула '

находится в клазуальной нормальной форме, если она получается из формулы Ã, находящейся в предклазуальной нормальной форме, уда-

лением всех кванторов существования с одновременной заменой соответствующих переменных на термы, определяемые аксиомами Скулема, и последующим удалением всех кванторов всеобщности.

П р и м е р 2.7.3. 1. В примере 2.4.1 найдена формула

8x 9y 9u 8v (:'(x; y) _ Ã(u; v));

находящаяся в ПКНФ. С помощью скулемовских функций и

f2(x), заменяющих переменные y è u соответственно, эта формула преобразуется к следующей формуле, находящейся в КлНФ:

(:'(x; f1(x)) _ Ã(f2(x); v)):

2. Формула

9x 8y 8z 8u 9v ((P (x; y; z; u) _ :Q(z; u; v)) ^ R(x; z; v))

сигнатуры fP (4); Q(3); R(3)g находится в ПКНФ и приводится к следующей КлНФ с помощью скулемовской константы c, заменяющей переменную x, и скулемовской функции f(y; z; u), заменяющей переменную v:

(P (c; y; z; u) _ :Q(z; u; f(y; z; u))) ^ R(c; z; f(x; z; u)): ¤

52

Ÿ 2.8. Метод резолюций в исчислении предикатов

Зафиксируем некоторую сигнатуру Σ.

Подстановкой сигнатуры Σ называется конечное множество вида ft1=x1; : : : ; tn=xng, ãäå ti терм сигнатуры Σ, отличный от переменных

Пусть µ = ft1=x1; : : : ; tn=xng подстановка сигнатуры Σ, W множество формул (термов) сигнатуры Σ. Тогда W µ множество формул

(термов) сигнатуры Σ, полученных из формул (термов) множества W

заменой в них одновременно всех вхождений xi (1 6 i 6 n) на термы

ti (1 6 i 6 n). При этом предполагается, что выполняются все условия на записи формул (')xt11;:::;t;:::;xnn, ' 2 W .

Åñëè W = fΦg èëè W = ftg, ãäå Φ формула, t терм сигнатуры Σ, то вместо fΦgµ è ftgµ будем писать Φµ è tµ соответственно.

П р и м е р 2.8.2. Пусть µ = fc1=x; F (c2)=y; y=zg подстановка

сигнатуры Σ = fc(0)1 ; c(0)2 ; F (1); F1(3)g, t = F1(x; y; z), Φ = (F (x) ¼ F1(x; c1; z)). Тогда tµ = F1(c1; F (c2); y), Φµ = (F (c1) ¼ F1(c1; c1; y)).

Пусть µ = ft1=x1; : : : ; tn=xng è ¸ = fq1=y1; : : : ; qm=ymg подстанов-

ки сигнатуры Σ. Тогда композиция подстановок µ è ¸ (µ±¸) åñòü ïîä-

становка, которая получается из множества ft1¸=x1; : : : ; tn¸=xn; q1=y1; : : :, qm=ymg вычеркиванием всех элементов tj¸=xj, для которых tj¸ = xj,

и всех элементов qi=yi, таких, что yi 2 fx1; : : : ; xng.

П р и м е р 2.8.3. Пусть µ = ft1=x1; t2=x2g = fF (y)=x, z=yg, ¸ =

fq1=y1; q2=y2; q3=y3g = fc1=x; c2=y; y=zg подстановки сигнатуры Σ =

fc(0)1 ; c(0)2 ; F (1)g. Тогда ft1¸=x1; t2¸=x2; q1=y1, q2=y2, q3=y3g = fF (c2)=x;

y=y; c1=x; c2=y; y=zg. Òàê êàê t2¸ = y, òî y=y должно быть вычеркнуто. Так как x; y 2 fx; yg, òî c1=x, c2=y также должны быть вычеркнуты.

Таким образом, µ ± ¸ = fF (c2)=x, y=zg. ¤

У п р а ж н е н и е. Доказать: 1) ассоциативность композиции подстановок, т. е. (µ ± ¸) ± ¹ = µ ± (¸ ± ¹) для любых подстановок µ, ¸, ¹;

2) µ ± " = " ± µ для любой подстановки µ. ¤ Подстановка µ сигнатуры Σ называется унификатором для множе-

ñòâà fΦ1; : : : ; Φkg формул сигнатуры Σ, åñëè Φ1µ = : : : = Φkµ. Множество формул fΦ1; : : : ; Φkg сигнатуры Σ называется унифицируемым, если для него существует унификатор сигнатуры Σ.

53

П р и м е р 2.8.4. Множество fP (c1; y); P (x; F (c2))g формул сиг-

натуры Σ = fc(0)1 ; c(0)2 ; P (2); F (1)g унифицируемо, так как подстановка µ = fc1=x; F (c2)=yg является его унификатором. ¤

Унификатор ¾ для множества fΦ1; : : : ; Φkg формул сигнатуры Σ называется наиболее общим унификатором (НОУ), если для каждого унификатора µ сигнатуры Σ этого множества существует подстановка

¸ сигнатуры Σ такая, что µ = ¾ ± ¸.

Пусть W = fΦ1; : : : ; Φkg непустое множество атомарных формул сигнатуры Σ. Множеством рассогласований в W называется множе-

всех трех формулах первые четыре символа P (x; совпадают, а на пятом месте в первой и второй формулах стоят разные символы: F , c. Таким образом, множество рассогласований в W fF (y; z); c; F (y;

F1(z))g. ¤

Алгоритм унификации предназначен для распознавания того, является ли данное конечное непустое множество атомарных формул унифицируемым, и нахождения НОУ для этого множества в случае его унифицируемости.

Пусть W конечное непустое множество атомарных формул. Алгоритм унификации для множества W :

Шаг 1. Полагаем k = 0, Wk = W , ¾k = ".

Øàã 2. Åñëè Wk одноэлементное множество, то остановка: ¾k ÍÎÓ äëÿ W . В противном случае найдем множество Dk рассогласо- ваний для Wk.

Шаг 3. Если существуют xk; tk 2 Dk такие, что xk

не входящая в терм tk, то перейти к шагу 4. В противном случае остановка: множество W не унифицируемо.

Шаг 4. Полагаем ¾k+1 - ¾k±ftk=xkg è Wk+1 - Wkftk=xkg (заметим, что Wk+1 = W ¾k+1).

Шаг 5. Присвоить k значение k + 1 и перейти к шагу 2.

Теорема 2.8.1. Åñëè W конечное непустое унифицируемое мно-

жество атомарных формул, то алгоритм унификации будет всегда заканчивать работу на шаге 2 и последняя подстановка ¾k будет

ÍÎÓ äëÿ W . ¤

54

П р и м е р 2.8.6. Найти НОУ для множества W = fP (c; x, F2(F1(y))),

P(z; F2(z); F2(u))g.

1.Положим k = 0, W0 = W , ¾0 = ".

2.Òàê êàê W неодноэлементное множество, то ¾0 не является ÍÎÓ äëÿ W . Множество рассогласований для W0 åñòü D0 = fc; zg.

3. D0 существует переменная x0 = z, которая не встречается в терме t0 = c. Поэтому переходим к шагу 4.

4.Полагаем ¾1 - ¾0 ± fc=zg = " ± fc=zg = fc=zg, W1 - W0fc=zg =

fP (c; x; F2(F1(y))); P (c; F2(c); F2(u))g.

5.Присваиваем k = 1.

6.Òàê êàê W1 неодноэлементное множество, множество рассогласований для W1 åñòü D1 = fx; F2(c)g.

7.Èç D1 находим, что x1 = x, t1 = F2(c).

8.Полагаем ¾2 - ¾1 ±fF2(c)=xg, W2 - W1fF2(c)=xg = fP (c; F2(c);

F2(F1(y))); P (c; F2(c); F2(u))g.

9.Присваиваем k = 2.

10.Òàê êàê W2 неодноэлементное множество, множество рассогласований для W2 åñòü D2 = fF1(y); ug.

11.Èç D2 найдем, что x2 = u, t2 = F1(y).

fP (c; F2(c); F2(F1(y)))g.

13. Множество W3 одноэлементно. Поэтому ¾3 = fc=z, F2(c)=x; F1(y)=ug ÍÎÓ äëÿ W . ¤

П р и м е р 2.8.7. Определить, унифицируемо ли множество W =

fP (F1(c); F2(x)); P (y; y)g.

1.Положим k = 0, W0 = W , ¾0 = ".

2.Òàê êàê W0 неодноэлементное множество, множество рассогласований для W0 åñòü D0 = fF1(c); yg.

3.Èç D0 находим, что x0 = y, t0 = F1(c).

4.Полагаем ¾1 - ¾0 ± fF1(c)=yg = fF1(c)=yg, W1 - fP (F1(c),

F2(x)), P (F1(c); F1(c))g.

5.Присваиваем k = 1.

6.Òàê êàê W1 неодноэлементное множество, множество рассогласований для W1 åñòü D1 = fF2(x); F1(c)g.

7. D1 нет элемента, который был бы переменной. Поэтому множество W не унифицируемо. ¤

Литерой сигнатуры Σ называется атомарная формула или отрицание атомарной формулы сигнатуры Σ. Дизъюнктом сигнатуры Σ называется литера сигнатуры Σ или дизъюнкция литер сигнатуры Σ.

55

Примеры дизъюнктов сигнатуры Σ = fP (1); F1(1); F2(2); c(0)g

P (F1(x)), :P (F1(x)), P (F1(x)) _:(F1(x) ¼ F2(x; y)), P (F2(F1(x), z)) _ :P (F2(x; y)) _ (x ¼ c).

Пусть Φ дизъюнкт сигнатуры Σ âèäà Ã1 _ ¢ ¢ ¢ _ Ãn _ Â èëè :Ã1 _

¢ ¢ ¢ _ :Ãn _ Â, ãäå Ãi атомарные формулы сигнатуры Σ (1 6 i 6 n). Предположим, что множество формул fÃ1; : : : ; Ãng имеет НОУ ¾. Тогда Ã1¾ _¾ или соответственно :Ã1¾ _¾ называется склейкой Φ. Полученную формулу в дальнейшем будем обозначать через Φ¾.

П р и м е р 2.8.8. В формуле Φ = P (x) _ P (F (y)) _ :P2(x) подформулы P (x) è P (F (y)) имеют НОУ ¾ = fF (y)=xg. Следовательно,

Φ¾ = P (F (y)) _ :P2(F (y)) склейка Φ. ¤

Пусть Φ1, Φ2 два дизъюнкта, не имеющих общих переменных, L1, L2 литеры в Φ1 è Φ2 соответственно. Если литеры L1 è L02 ´ :L2 имеют НОУ ¾, то дизъюнкт, получаемый из дизъюнкта Φ1¾ _ Φ2¾

вычеркиванием L1¾ è L2¾, называется бинарной резольвентой Φ1 è Φ2, а литеры L1 è L2 называются отрезаемыми литерами. Если Φ1¾ = L1 è Φ2¾ = L2, то полагаем бинарную резольвенту Φ1 è Φ2 равной 0.

Åñëè Φ1 è Φ2 имеют общие переменные, то, заменив в формуле Φ2

эти общие переменные на переменные, не встречающиеся в Φ1 è Φ2, получим формулу Φ02, которая не имеет общих переменных с формулой Φ1. Бинарной резольвентой формул Φ1 è Φ2 называется бинарная резольвента формул Φ1 è Φ02.

П р и м е р 2.8.9. Найти бинарную резольвенту формул Φ1 -

P1(x)_ P2(x) è Φ2 - :P1(c) _ P3(x).

Заменив переменную x â Φ2 íà y, получим Φ02 = :P1(c) _ P3(y). Выбираем L1 = P1(x), L2 = :P1(c). Òàê êàê :L2 ´ L02 = P1(c), òî L1 è L02 имеют НОУ ¾ = fc=xg. Бинарная резольвента формул Φ1 è Φ02 получается из Φ1¾_Φ02¾ = P1(c)_P2(c)_:P1(c)_P3(y) вычеркиванием P1(c) è :P1(c). Следовательно, P2(c) _ P3(y) бинарная резольвента

Φ1 è Φ2, à P1(x) è :P1(c) отрезаемые литеры. ¤

Резольвентой дизъюнктов Φ1 è Φ2 (res(Φ1; Φ2)) является одна из следующих бинарных резольвент:

бинарная резольвента Φ1 è Φ2;бинарная резольвента склейки Φ1 è Φ2;

бинарная резольвента Φ1 и склейки Φ2;бинарная резольвента склейки Φ1 и склейки Φ2.

П р и м е р 2.8.10. Найти res(Φ1; Φ2), ãäå Φ1 = P (x) _ P (F (y)) _

P1(F1(y)), Φ2 = :P (F (F1(c1))) _ P2(c2).

Склейка Φ1 åñòü Φ01 = Φ1fF (y)=xg = P (F (y)) _ P1(F1(y)). Бинарная резольвента Φ01 è Φ2 åñòü P1(F (F1(c1))) _ P2(c2). Следовательно,

res(Φ1; Φ2) = P1(F (F1(c1))) _ P2(c2). ¤

56

Пусть S множество дизъюнктов сигнатуры Σ. Резолютивный вы-

вод формулы Φ èç S есть такая конечная последовательность Φ1, : : :, Φk дизъюнктов, что Φk = Φ и каждый дизъюнкт Φi или принадлежит S, или является резольвентой дизъюнктов, предшествующих Φi.

Универсальным замыканием формулы Φ(x1; : : : ; xn) называется

предложение 8x1; : : : ; xn Φ(x1; : : : ; xn).

Теорема 2.8.2. (теорема о полноте метода резолюций). Если S

множество дизъюнктов сигнатуры Σ, то множество универсальных замыканий формул из S невыполнимо тогда и только тогда, когда существует резолютивный вывод нуля из S. ¤

П р и м е р 2.8.11. Доказать невыполнимость множества формул

W = fΦ1; : : : ; Φ6g, ãäå

Φ1 = P1(c1; F (c2); F (c3)), Φ2 = P2(c1),

Φ3 = P1(x; x; F (x)),

Φ4 = :P1(x; y; z) _ P3(x; z),

Φ5 = :P2(x) _ :P1(y; z; u) _ :P3(x; u) _ P3(x; y) _ P3(x; z),

Φ6 = :P3(c1; c3).

Построим резолютивный вывод 0 из W :

Φ7 = res(Φ2; Φ5) = res(Φ2; Φ5fz=yg) = :P1(z; z; u) _ :P3(c1, u) _

P3(c1; z);

Φ8 = res(Φ3; Φ7) = :P3(c1; F (x)) _ P3(c1; x); Φ9 = res(Φ6; Φ8) = :P3(c1; F (c3));

Φ10 = res(Φ4; Φ9) = :P1(c1; y; F (c3)); Φ11 = res(Φ1; Φ10) = 0. ¤

П р и м е р 2.8.12. Выполнимо ли множество предложений fΦ1; Φ2g? Если множество выполнимо, построить систему, на которой предложения Φ1 è Φ2 истинны:

Φ1 - 9y 8x z((P1(x; z) ! (P2(x) ^ P3(y))) ^ P4(y));

Φ2 - 8x ((P4(x) ! :P3(x)) ^ 9y P1(x; y)):

Приведем формулы Φ1, Φ2 к предклазуальной нормальной форме:

Φ1 ´ 9y 8x; z ((:P1(x; z) _ P2(x)) ^ (:P1(x; z) _ P3(y)) ^ P4(y)),

Φ2 ´ 8x 9y ((:P4(x) _ :P3(x)) ^ P1(x; y)).

Введением символов скулемовской константы c и скулемовской функ-

öèè F получаем, что выполнимость множества формул fΦ1; Φ2g сигнатуры Σ = fP1(2); P2(1); P3(1); P4(1)g равносильна выполнимости множества

57

формул

сигнатуры Σ0 = Σ [ fc; F (1)g, что в свою очередь равносильно выполнимости множества формул

Действительно, пусть множество формул fΦ1; Φ2g выполнимо. Тогда существует алгебраическая система A = hA; Σi è c0 2 A, äëÿ êî-

торых A j= 8x z (:P1(x; z) _ P2(x)) ^ 8x z (:P1(x; z) _ P3(c0)) ^ P4(c0) è

A j= 8x (:P4(x) _ :P3(x)).

a 2 A найдется элемент в A, который обо-

то, очевидно, формулы (2.2) и Φ1, Φ2 будут истинны и в системе A =

hA; Σi.

Приведем формулы из (2.2) к КлНФ и исследуем на выполнимость с помощью метода резолюций получившееся множество дизъюнктов

f:P1(x; z) _ P2(x); :P1(x; z) _ P3(c); P4(c); :P4(x) _ :P3(x);

Имеем

res(:P1(x; z) _ P3(c); P1(x; F (x))) = P3(c), res(P3(c); :P4(x) _ :P3(x)) = :P4(c),

res(:P4(c); P4(c)) = 0.

Построили резолютивный вывод нуля. Следовательно, множество дизъюнктов (2.3) невыполнимо. Тогда и множество предложений (2.1) невыполнимо, что равносильно невыполнимости множества предложений fΦ1; Φ2g. ¤

П р и м е р 2.8.13. Выполнимо ли множество предложений fΦ1; Φ2; Φ3g? Если выполнимо, построить систему, на которой эти предложения

истинны: Φ1 - 9x (P1(x) ^ 8y(P2(y) ! P3(x; y))), Φ2 - 8x (P1(x) ! 8y (P4(y) ! :P3(x; y))),

Φ3 - 8x (P2(x) ! :P4(x)).

58

Приведем формулы Φ1, Φ2, Φ3 ê ÏÊÍÔ:

Φ1 ´ 9x 8y (P1(x) ^ (:P2(y) _ P3(x; y)),

Φ2 ´ 8x y (:P1(x) _ :P4(y) _ :P3(x; y)),

Φ3 ´ 8x (:P2(x) _ :P4(x)).

Из полученных формул получаем следующие формулы, находящиеся в КлНФ:

(P1(c) ^ (:P2(y) _ P3(c; y)), (:P1(x) _ :P4(y) _ :P3(x; y)),

(:P2(x) _ :P4(x)).

Так же, как в примере 2.8.12, строим множество дизъюнктов:

fP1(c); :P2(y) _ P3(c; y); :P1(x) _ :P4(y) _ :P3(x; y);

:P2(x) _ :P4(x)g: (2.4)

Исследуем это множество на выполнимость с помощью метода резолюций:

Других резольвент для множества (2.4) нет, поэтому резолютивный вывод 0 из (2.4) не существует. Рассмотрим множество, составленное из констант, входящих в формулы (2.4), т. е. множество fcg. Опреде-

ëèì íà fcg предикаты P1, P2, P3, P4 так, чтобы множество формул из (2.4) и (2.5) выполнялось на системе hfcg; P1; P2; P3; P4i. Из (2.5) следует, что необходимо потребовать c 2= P4, èëè hc; ci 2= P3 è c 2= P2. Положим c 2= P4, hc; ci 2= P3, c 2= P2. Из (2.4) следует, что необходимо

потребовать c 2 P1. Таким образом, на системе hfcg; P1; P2; P3; P4; ci выполняются все формулы из (2.4). Более того, на ней истинны все формулы из (2.4) с навешанными на них кванторами всеобщности по переменным x, y, что равносильно истинности формул Φ1, Φ2, Φ3 íà

системе hfcg; P1; P2; P3i.

П р и м е р 2.8.14. Выполнимо ли множество предложений fΦ1; Φ2g? Если выполнимо, построить систему, на которой эти предложения истинны:

Φ1 - 9u 8x 9z 8y (P3(z)^((P2(x; z)^:P1(u))_:((P3(y) ! P1(y)) ! P1(u)))),

Φ2 - 8x (9y P2(x; y) ! :P3(x)).

Преобразуем формулы Φ1 è Φ2 к предклазуальной нормальной форме:

Φ1 ´ 9u 8x 9z 8y (P3(z) ^ (P2(x; z) _ :P3(y) _ P1(y)) ^ :P1(u)), Φ2 ´ 8x; y (:P2(x; y) _ :P3(x)).

59

Исследуем на выполнимость множество дизъюнктов

которое получается из преобразованных формул после введения символов скулемовской константы c и скулемовской функции F . Имеем

res(:P1(c); P2(x; F (x)) _ :P3(y) _ P1(y)) = P2(x; F (x)) _ :P3(c), res(P2(x; F (x)) _ :P3(c); :P2(x; y) _ :P3(x)) = :P3(c); res(P2(x; F (x)) _ :P3(y) _ P1(y); :P2(x; y) _ :P3(x)) =

:P3(y) _ P1(y),

гражданин и x есть голос y соответственно. Тогда посылка и

Формула, соответствующая посылке, эквивалентна дизъюнкту :S(y)_ C(y). Поскольку

60