3614

УДК 621.3.011.7(07) В 24

Рецензент канд. техн. наук, проф. Л.Г. Плавский

Составители:

В.В. Афанасьев, Е.И. Алгазин, А.В. Сапсалев, Е.Г. Касаткина

Работа выполнена на кафедре «Общая электротехника»

Новосибирский государственный технический университет, 2009

2

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕПИ

Для применения количественных методов исследования в любой области знаний всегда требуются какие-то модели, в частности математические. Напомним, что под математической моделью понимают приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математических символов. Одной из таких универсальных математических моделей является цепь.

В самом общем виде цепь можно определить как идеальный объект, образованный соединением математически определенных элементов. Цепь характеризуется:

–конечным или бесконечным счетным упорядоченным множеством определенных элементов;

–топологией (структурой), отображающей их соединение друг с другом.

Наибольший практический интерес представляют цепи с конечным числом элементов. Вместе с тем находят свое применение и це-

пи регулярной структуры с бесконечно большим числом элементов.

Элементы соединяются в цепь своими полюсами. В дальнейшем предполагается, что цепи содержат только сосредоточенные (точеч-

ные) двух- и четырехполюсные элементы либо наряду с ними распределенные четырехполюсные элементы.

Сосредоточенный двухполюсный элемент цепи определяется математической зависимостью двух переменных, характеризующих воздействие и реакцию, например, таких как напряжение и ток, сила (момент сил) и линейная (угловая) скорость, градиент температур и тепловой поток и др. Соответственно этому различают электрические, механические, тепловые и другие, в частности комбинированные цепи.

3

Ниже для определенности рассматриваются основы теории только электрических цепей. Ее результаты и выводы с помощью известной системы аналогий физических величин могут быть перенесены и на другие виды цепей.

Первичными (фундаментальными) понятиями теории электрических цепей являются:

–относительное время;

–пространственные координаты;

–электрическое напряжение и электрический ток элемента це-

пи как меры воздействия на элемент и его реакции.

Вторичными (определяемыми) терминами будут мощность и энергия элемента цепи.

2. ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ. НАПРЯЖЕНИЕ И ТОК ЭЛЕМЕНТА ЦЕПИ

Эти понятия в теории электрических цепей являются исходными и поэтому не могут быть определены через более простые. Можно лишь, обращаясь к различным аспектам этих терминов, иллюстрировать их смысл. Количественно их определение сводится к указанию принципиального способа их измерения.

Всякое физическое явление происходит в пространстве и во времени. К математическому моделированию таких явлений можно приступить, лишь условившись о выборе системы отсчета. Прежде всего выбирают так называемую систему отсчета координат. В простейшем случае эта система состоит из прямой, выбранной на ней точки 0 (это начало отсчета) и направления, которое условно считают положительным. Значение координаты x в системе координат получается в результате измерения длины отрезка 0x измерительной линейкой; оно считается положительным, если x лежит в положительном направлении от начала отсчета, и отрицательным – в направлении, противоположном положительному. За единицу длины принят метр (м).

Кроме того, необходимо еще задать систему отсчета относительного времени t. Для этого выбирают подходящие часы и фиксируют какое-либо событие, от которого и отсчитывают время (t = 0). Количественно оно характеризуется некоторым числом – показанием

4

часов; оно условно считается положительным, если рассматриваемое событие происходит позже фиксированного, и отрицательным, если – ранее. За единицу времени принята

мгновенными значениями напряжения и тока и обозначают ственно строчными буквами u(t), i(t) или просто u, i, подразумевая u

= u(t), i = i(t).

Применительно к распределенному, например одномерному элементу цепи (отрезку линии), мгновенные напряжение и ток выражаются функциями уже двух переменных – x и t: u = u(x, t), i = i(x, t), определяющими мгновенные распределения этих величин вдоль распределенного элемента.

Приступая к исследованию электрической цепи необходимо дать определения токов и напряжений всех ее элементов. Мгновенные значения напряжения и тока сосредоточенного элемента цепи характеризуются показаниями идеальных полярных измерительных приборов – вольтметра и амперметра – специальных двухполюсных физических объектов, соучаствующих в изучаемом процессе, но не влияющих на него. Полярность измерительного прибора указывается какой-либо маркировкой его полюсов, например традиционно используемыми значками « + » и « – » (рис. 1).

Если к элементу цепи подключить измерительный прибор, то отклонение его стрелки от центральной или нулевой отметки шкалы в направлении, условно принятом за положительное, свидетельствует о положительном значении (естественно, тоже условном) измеряемой величины. Если же стрелка прибора отклонится в противоположную сторону шкалы, то значение измеряемой величины считается отрицательным.

Принципиально несущественно, как именно включен измерительный прибор (рис. 2, a и 3, a); однако для однозначного определе-

* Далее для краткости электрическое напряжение и электрический ток элемента цепи мы будем называть обобщающим термином электрические величины либо просто напряжением и током элемента.

5

ния искомой величины – напряжения u и тока i элемента – принятое включение обязательно фиксируется на схеме цепи.

Измерительные приборы, определяющие напряжения и токи всех элементов цепи, на ее схеме не показывают. Вместо них для определения напряжения или тока любого элемента пользуются буквами u и i

с нижними двойными цифровыми или буквенными индексами – идентификаторами полюсов элементов. Произвольно заданная упорядоченная последовательность идентификаторов в индексе соответствует выбранной полярности подключения прибора к элементу цепи

(рис. 2, б и 3, б); при этом, очевидно, umn = – unm, imn = – inm. Полярность подключения прибора можно также обозначать

стрелкой на схемном изображении элемента (рис. 2, в и 3, в). При изменении ориентации стрелки значение определяемой ею величины меняется на противоположное. Условимся в дальнейшем считать, что эти альтернативные способы фиксации полярности подключения измерительных приборов характеризуют так называемые условно положительные направления определяемых величин.

Таким образом, значения напряжения и тока элемента цепи определяются однозначно, если на схеме цепи возле элемента указаны их идентификаторы и положительные направления, заданные произвольно. Эти направления условно учитываются затем при записи топологических и компонентных уравнений цепи.

Как обычно, значения электрического напряжения выражают в вольтах (В), значения электрического тока – в амперах (А); применя-

6

ют также дольные (мВ и мкВ, мА и мкА) и кратные единицы (кВ, кА).

3.МОЩНОСТЬ И ЭНЕРГИЯ ЭЛЕМЕНТА ЦЕПИ

Вдальнейшем предполагается, что значения напряжения u = u(t)

итока i = i(t) элемента электрической цепи измеряемы одновременно по любой из двух схем на рис. 4, а или б, так что показания одинаковых приборов этих схем в любой момент времени одинаковы. Сам процесс измерения состоит, по существу, в регистрации по той или иной измерительной схеме события, состоящего в совпадении на-

пряжения u и тока i элемента цепи с определенными значениями в произвольный момент относительного времени t = t0.

В результате одного измерения получают пару чисел u(t0) и i(t0) – искомые мгновенные значения напряжения и тока в данный момент времени t0.

а

б

Рис. 4

Определим теперь мгновенную мощность элемента цепи p = p(t) при фиксированных условно положительных направлениях его напряжения и тока выражениями

Знак этих выражений выбирается исходя из физического смысла искомой мощности (получаемой элементом pпол или отдаваемой им

7

pот) и взаимной ориентации условно положительных направлений напряжения и тока элемента (согласной или встречной) (табл. 1).

Положительное искомое значение мгновенной мощности элемента подтверждает ее физический смысл в рассматриваемый момент времени t.

Мгновенная мощность элемента цепи равна производной его энергии w = w(t) по времени t:

Напомним, что в системе СИ значения энергии выражают в джоулях (Дж), а мощность – в ваттах (Вт), а также в дольных и кратных им единицах.

4. ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ДВУХПОЛЮСНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

8

Каждый сосредоточенный двухполюсный элемент электрической цепи характеризуется напряжением и током – вещественными функциями времени, а определением элемента служит его динамическая характеристика.

В зависимости от вида динамической характеристики различают:

активные элементы цепи (независимые источники напряжения

итока);

пассивные элементы цепи (резистор, катушка и конденсатор);

вспомогательные элементы цепи (провод, разъем и ключ).

4.1. Активные элементы цепи

Независимым источником напряжения (источником независимого напряжения) называют сосредоточенный двухполюсный элемент электрической цепи, напряжение которого u(t) задано некоторой функцией времени uо(t), называемой задающим напряжением:

Условные обозначения независимого источника напряжения показаны на рис. 5. Стрелка внутри окружности (рис. 5, а и в) задает положительное направление напряжения u(t)= uо(t). Часто на схемах цепей ограничиваются изображением только полюсов источника напряжения, как показано на соответствующих рис. 5, б и г. Как следует из определения этого активного элемента цепи, его напряжение не зависит от тока, поэтому в принципе можно применять как согласную (рис. 5, а и б), так и встречную (рис. 5, в и г) ориентацию задающего напряжения и тока источника напряжения.

Рис. 5

9

Внимание! До сих пор во многих учебниках, задачниках и учебных пособях по теории электрических цепей все еще используется понятие электродвижущей силы (ЭДС), которая в теории цепей никак не определяется. Кроме того, «электродвижущая сила» относится к понятиям теории электромагнитного поля, ему нет дуального понятия в теории цепей, и пользоваться этим термином в ней нет никаких оснований.

Исключительно для справки приведем здесь соотношения, связывающие значения ЭДС e(t) и напряжения uо(t) на примере источника напряжения (рис. 6). При одинаковой ориентации стрелок на схемных изображениях источников ЭДС и напряжения (рис. 6, а и б) значения e(t) и uо (t)

Независимым источником тока (ис- Рис. 6 точником независимого тока) называют сосредоточенный двухполюсный элемент электрической цепи, ток которого i(t) задан некоторой функцией времени iк (t), называемой

задающим током:

Условные обозначения независимого источника тока показаны на рис. 7. Двойная стрелка внутри окружности (рис. 7, а и в) задает положительное направление тока i(t) = iк(t). Иногда на схемах цепей ограничиваются изображением только полюсов источника тока, как показано на соответствующих рис. 7, б и г. Из определения этого активного элемента цепи следует, что его ток не зависит от напряжения, поэтому в принципе можно применять как согласную (рис. 7, а и б), так и встречную (рис. 7, в и г) ориентацию задающего тока и напряжения источника тока.

10