metodichka_2_semestr

Эта формула описывает хорошо известное правило трапеций для численного интегрирования; согласно этому правилу, приближенное значение интеграла получается в виде суммы площадей n трапеций.

При использовании формулы (4) для вычисления определенного интеграла возникает ошибка, равная сумме площадей между кривой y f (x) и хордами,

2

соединяющими yi и yi 1 . Можно оценить эту ошибку, разлагая функцию

интерполяционным многочленом нулевого порядка (константой). Подобная замена является неоднозначной, так как константу можно выбрать равной значению подынтегральной функции в любой точке интервала интегрирования.

Приближенное значение интеграла определится как площадь прямоугольника,

одна из сторон которого есть длина отрезка интегрирования, а другая – значение функции в выбранной точке. Отсюда, различают методы левых, правых и средних прямоугольников (Рис.3-5).

2

Общее выражение для интеграла примет вид

n 1

I h f (xi ) R f ,

i 0

R f - остаточный член, который не используется в вычислениях, но по которому можно судить о точности применяемой формулы.

Таблица 1

Из рис.3-5 видно, что метод средних прямоугольников является самым точным,

2

поскольку имеет минимальную погрешность.

Метод парабол (правило Симпсона)

Этот метод аналогичен правилу трапеций и методу прямоугольников, так как интегрирование производится путем разбиения общего интервала интегрирования на множество более мелких отрезков, но для вычисления площади на каждом из них через три последовательные точки проводится квадратичная парабола (интерполяционный полином второго порядка). Можно было бы ожидать, что аналогично тому, как правило, трапеций дает точный результат при интегрировании линейных функций, правило Симпсона даст точный результат при интегрировании многочленов второго порядка; в

действительности же формула Симпсона дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до третьего порядка включительно. Поэтому при всей своей простоте этот метод весьма точен, хотя формула для численного интегрирования получается, немного сложней, чем для правила трапеций.

Выведем эту формулу.

Рассмотрим

т.е. вклад в исходный интеграл от первых двух промежутков. Кривую y f (x)

на промежутке x x0 до x x2 заменим параболой, проходящей через точки

(x0; y0 ) , (x1; y1) , (x2; y2 ) , и площадь под кривой приближенно заменим лощадью под параболой (Рис.6). Уравнение параболы имеет вид

y m1x2 m2x m3 . Коэффициенты m1,m2,m3 определяются из условия, что арабола проходит через три данные точки:

2

Таким образом, на каждом шаге приходится решать систему уравнений, а это приводит к довольно длинным выкладкам.

Проще возьмем представление для параболы в виде

2

точности, что и формула трапеций при 2n ординатах.

2.Для достижения той же степени точности при использовании формулы Симпсона приходится производить примерно вдвое меньше вычислений, чем по формуле трапеций, которая требует вдвое большего количества ординат.

3.Формулой Симпсона можно пользоваться при условии, что интервалы разбиения одинаковы. Если же интервалы разбиения случайны (интегрирования экспериментальных данных), то для интегрирования можно применить, лишь формулу трапеций. Формула Симпсона обеспечивает достаточную точность при умеренном количестве ординат, проста и удобна. Поэтому неудивительно, что она получила широкое распространение в практических вычислениях.

2

лгебраический порядок точности – формула точна для многочленов степени не

выше 2n 1 .

Далее приведена подпрограмма метода Гаусса: subroutine qg8(xl,xv,f,y)

real xl, xv, f, y, a, b, c

a=.5*(xv+xl); b=(xv-xl); c=.4801449*b y=.05061427*(f(a+c)+f(a-c)) c=.3983332*b y=y+.1111905*(f(a+c)+f(a-c)) c=.2627662*b y=y+.1568533*(f(a+c)+f(a-c))

2

c=.09171732*b

y=b*(y+.1813419*(f(a+c)+f(a-c)))

end subroutine qg8

2

Задание

Составить и просчитать программу решения определенного интеграла методами:

а) трапеций; б) прямоугольников; в) парабол; г) Гаусса.

Определить число необходимых итераций.

Для решения определенного интеграла составить головную программу и при составлении программы на Фортране алгоритмы методов оформить в виде подпрограмм – процедур, а подынтегральную функцию оформить в виде подпрограммы-функции. Результаты вычислений записать в файл данных в виде таблицы. Дать сравнительный анализ методам.

2

Лабораторная работа № 3

Определение длины кривой Задание

Вычислить длину L кривой, заданной функциейY f1 (x ) при x ,

изменяющимся от а до b двумя способами:

1) аппроксимируя кривую ломаной линией и вычисляя длину этой линии. Длина

Интеграл вычислить несколькими методами (трапеций, прямоугольников и Симпсона). Исследовать точность вычислений в зависимости от количества N

участков разбиения отрезка a,b . Каждый способ вычисления оформить подпрограммой.

3) Вычислить длину L кривой Y f1 (x ) в Excel, используя формулы (1), (3).

Функции f1 (x) и f2 (x) описать также подпрограммами. Алгоритмы программ и подпрограмм приведены ниже. Варианты заданий даны в таблице 1.

2