ALGEBRA

докажем универсальность такой конструкции симметрического много- члена.

Предварительно заметим, что сумма, разность, произведение симметрических многочленов приводит к новому симметрическому многочлену. Так что совокупность симметрических многочленов образует подмножество кольца многочленов K[X1; :::; Xn], замкнутое относительно всех опе-

раций кольца, это подкольцо симметрических многочленов.

Основная теорема о симметрических многочленах

Пусть f 2 K[X1; :::; Xn] симметрический многочлен над целостным кольцом K. Тогда существует многочлен g 2 K[Y1; :::; Yn], для которого

f(X1; :::; Xn) = g(s1; :::; sn).

Коэффициенты многочлена g получаются целочисленными линейными комбинациями коэффициентов многочлена f.

Идея доказательства ввести порядок на одночленах, устойчивый при умножении на произвольный одночлен. Здесь используем лексикографический порядок.

Полагаем X1r1 :::Xnrn > X1t1 :::Xntn , r1 > t1 èëè åñëè r1 = t1; :::; ri = ti,

íî ri+1 > ti+1 при некотором i = 1; 2; :::; n:

То есть, если даже вначале некоторые степени переменных совпадают, то у большего одночлена первая несовпадающая степень больше.

Заметим сразу, что домножение двух одночленов на один и тот же одночлен сохраняет порядок. Это увеличивает степени соответствующих переменных в каждом одночлене на одинаковые величины. Кроме того, для любых двух неравных одночленов один обязательно больше другого в смысле лексикографического порядка. Отсюда следует, что старший член произведения двух многочленов получается произведением старших членов сомножителей.

Многочлен f представляет сумму одночленов. Старшим одночленом

такого многочлена называем старший одночлен в смысле лексикографи- ческого порядка. Заметим, что если многочлен f симметрический, то

его старший одночлен имеет вид a ¢ X1r1 :::Xnrn ; a 2 K, в котором степени переменных не могут возрастать: r1 ¸ r2 ¸ ::: ¸ rn.

одночлена перестановкой переменных Xi; Xi+1 и он больше. Но много- ÷ëåí f симметрический, и тогда бы он содержал и такой одночлен. Это

31

противоречит предположению о старшем одночлене.

Приступим к доказательству теоремы. Пустьf симметрический многочлен, а aX1r1 :::Xnrn ; a 2 K его старший член относительно лексикогра-

произведения многочленов легко проверить, что старший член этого симметрического многочлена совпадает со старшим членом f. Достаточно

посчитать степени.

Рассмотрим разность f ¡ f1 симметрический многочлен и его старший член меньше старшего члена многочлена f. Если применить рас-

суждения к этой разности, то можно продолжить и построить последовательность многочленов : f1; f2; ::: от переменных Y1; Y2; :::; Yn, êîýô-

фициенты которых представляют линейные комбинации с целыми коэффициентами коэффициентов многочлена f, для которых старшие ко-

эффициенты разностей f ¡ f1(s1; :::; sn); f ¡ f1 ¡ f2; ::: строго убывают.

Покажем, что так продолжаться может только конечное число шагов, на некотором шаге получаем f ¡ f1 ¡ ::: ¡ fk = 0.

Действительно, для данного набора целых (r1; :::; rn); с такими условиями r1 ¸ r2 ¸ ::: ¸ rn найдется не более (r1 + 1)n наборов целых

(l1; :::; ln) с условиями r1 ¸ l1; :::; r1 ¸ ln.

Заключаем, что на некотором шаге будем иметь f = f1 + ::: + fk. Теорема доказана.

32

Глава 3. Поля чисел

1. Поле комплексных чисел

Комплексные числа возникают естественным образом, если пытаться расширить числовую прямую вещественных чисел до плоскости. При этом на плоскости требуется определить алгебраические операции сложения и умножения так, чтобы они продолжали операции вещественных чисел, а полученная алгебраическая система образовывала относительно этих операций поле.

Такая задача была решена в XVII веке, решение ее следующее. Введем на плоскости декартову систему координат. Тогда каждой

точке взаимнооднозначно соответствует пара чисел (a; b) координаты этой точки. Определим сложение и умножение таких пар по правилам:

(+) (a1; b1) + (a2; b2) = (a1 + a2; b1 + b2);

(.) (a1; b1) ¢ (a2; b2) = (a1a2 ¡ b1b2; a1b2 + a2b1).

Числовой прямой оси OX отвечают пары чисел (a; 0); a 2 R. Áó-

дем считать вещественные числа отложенными на этой прямой. Это точки оси OX. Легко видеть, что введенные операции на вещественной

прямой совпадают с операциями сложения и умножения вещественных чисел. Будем отождествлять вещественное число a с парой (a; 0).

Теорема о поле комплексных чисел

Множество пар вещественных чисел с введенными операциями образует поле. Это поле содержит поле вещественных чисел.

Следует проверить все аксиомы поля. Не будем проверять все аксиомы, оставляем эту нетрудную проверку читателю. Проверим только аксиому обратного элемента.

33

комплексные: z1 = i; z2 = ¡i.

Любое комплексное число z можно представить в виде

z = (a; b) = (a; 0) + (0; b) = a + (b; 0) ¢ i = a + bi; a; b 2 R:

Такое представление называется алгебраической формой комплексного числа z, вещественные a; b называют соответственно вещественной и

мнимой частью комплексного числа z,

a = Re(z); b = Im(z). Числа с нулевой мнимой частью суть веществен-

ные числа, а с нулевой вещественной часть называютсячисто мнимыми

. Поле комплексных чисел принято обозначать C.

Из этих замечаний следует, что комплексные числа можно получить из вещественных присоединением к ним мнимой единицыi и затем при-

менением алгебраических операций сложения и умножения. Заметим, что дальнейшее присоединение корней квадратных уравнений с комплексными коэффициентами расширить поле комплексных чисел уже не может. 2

Действительно, пусть X + pX + q; p; q 2 C квадратный приведен-

ный трехчлен с комплексными коэффициентами. Поскольку комплексные числа образуют поле, то в трехчлене с комплексными коэффициентами возможно выделение полного квадрата, так что комплексные корни такого трехчлена вычисляются по обычной формуле. Проверим, что квадратный корень из любого комплексного числа представляется комплексными же числами. Тогда и корни трехчлена с комплексными коэффициентами будут комплексные числа.

Уравнение z2 = a + bi; a; b 2 R равносильно системе уравнений на вещественную и мнимую части комплексного числа z = x + yi

½

x2 ¡ y2 = a : 2xy = b

Решение такой системы с вещественными коэффициентами приводит

34

к вещественнымq значениям

x = (a + pa2 + 1)=2, y = 1=x. Так что получаются комплексные числа. Сопряжением комплексного числа z = a+bi; a; b 2 R называют число

z = a ¡ bi, меняем знак у мнимой части.

Легко проверить свойства этого преобразования:

²z1 + z2 = z1 + z2;

²z1 ¢ z2 = z1 ¢ z2;

²zm = zm;

²z = z () z 2 R.

Òàê ÷òî åñëè f(Z) = a0 + a1Z + ::: + anZn многочлен с вещественными

коэффициентами, то f(z) = f(z).

В случае многочлена с произвольными комплексными коэффициентами условимся через f обозначать многочлен с сопряженными коэффи-

циентами:

f(Z) = a0 + a1Z + ::: + anZn:

Легко проверить, что многочленf¢f имеет вещественные коэффициенты. Без доказательства укажем на такую теорему.

Теорема о геометрическом характере операций с комплексными числами

Геометрически результаты операций с комплексными числами можно определить исходя из отвечающих им точек плоскости с помощью циркуля и линейки.

Основной результат о комплексных числах:

Основная теорема алгебры

Любой многочлен ненулевой степени с комплексными (или вещественными) коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.

Обратимся к доказательству. Пустьf 2 C[X]nC непостоянный мно-

гочлен с комплексными коэффициентами ненулевой степениn. Íå îãðà-

ничивая общности будем считать его приведенным. Докажем, что найдется такое z 2 C, для которого f(z) = 0.

35

Âпервой части доказательства докажем утвердение для многочлена

ñвещественными коэффициентами. Пусть f 2 R[X].

Представим степень многочлена в виде

n = 2m ¢ n0; (2; n0) = 1;

иными словами n0 нечетное число. Докажем первую часть теоремы индукцией по числу m.

База индукции m = 0, степень многочлена f нечетная. Покажем, что

в этом случае у многочлена есть даже вещественный корень. Это следует из теоремы Больцано - Коши о промежуточном значении. Действительно, многочлен f(X) определяет непрерывную функцию вещественного

аргумента. В силу нечетности степени многочлена легко видеть, что для достаточно больших по модулю вещественных значенийz многочлен f(z)

принимает значения разных знаков на положительной и отрицательной полуоси вещественных чисел.

Предположим теперь, что для многочлена с вещественными коэффициентами, степень n которого представляется в виде n = 2mn0; m 6= 0 ñ

меньшим m уже доказано существование хотя бы одного комплексного корня. Найдем такой корень у самого многочлена f(Z). Теперь степень

такого многочлена n уже можно считать четной.

Применим теорему о поле разложения и найдем такое расширение поля комплексных до поля L, в котором многочлен f разлагается на

линейные множители: f(Z) = (Z ¡ c1):::(Z ¡ cn); c1; :::; cn 2 L: Íàøà

задача найти корни не в собственном расширении комплексных чисел L, а уже в поле комплексных!

Зафиксируем вещественное число a 2 R è â ïîëå L построим элемен-

íûå n2 ¡ n пар неравных чисел встречаются при таком подсчете дважды, один раз при соотношении i < j, а другой при i > j. Получаем

n(n ¡ 1)=2 = 2mn0(n ¡ 1)=2 =

= 2m¡1n0(n¡1) в котором произведение n0(n¡1) есть произведение нечет-

ных чисел нечетное число. Сейчас мы построим многочлен с вещественными коэффициентами именно этой степени. Тогда по предположению индукции этот многочлен имеет хотя бы один комплексный корень.

36

Рассмотрим приведенный многочлен

очевидно степени n(n¡1)=2. Корни такого многочлена элементыbij. Ïî

теореме Виета его коэффициенты элементарные симметрические многочлены от этих элементов. Но элементыbij выражаются через элементы

ci; cj. Несложная проверка показывает, что коэффициенты симметри-

ческие функции корней ci многочлена f(Z).

По основной теореме о симметрических многочленах заключаем, что коэффициенты многочлена fa есть линейная комбинация с целыми ко-

эффициентами элементарных симметрических многочленов от корнейf и от коэффициентов f. Это рассуждение показывает, что все коэффици-

åíòû fa вещественные числа при любом a 2 R.

По предположению индукции каждый многочленfa имеет комплекс-

ный корень некоторое bij 2 C. Так как число пар 1 · i < j · n

конечно, а вещественных чисел бесконечно много, то найдутся различ- ные вещественные a1 =6 a2, для которых при одинаковых индексах числа

u = bij(a1) 2 C; v = bij(a2) 2 C. Тогда корни ci; cj удовлетворяют системе уравнений с комплексными коэффициентами

½ cicj + a1(ci + cj) = u : cicj + a2(ci + cj) = v

Эта система равносильна равенствам

ci + cj = (u ¡ v)=(a1 ¡ a2) = A 2 C;

cicj = u ¡ a1 ¢ ((u ¡ v)=(a1 ¡ a2) = B 2 C:

Заключаем, что ci; cj есть корни трехчлена с комплексными коэффициентами Z2 ¡AZ +B. Так что это комплексные числа, корни многочлена

f(Z). Утверждение основной теоремы доказано для многочлена с веще-

ственными коэффициентами.

Докажем теорему для произвольного многочлена f с комплексными коэффициентами. Построим многочлен F = f ¢ f. Из свойств сопря-

жения комплексных чисел легко следует, что F (Z) имеет вещественные

коэффициенты. По доказанному выше он имеет комплексный корень: z 2 C; F (z) = 0. Но тогда либо f(z) = 0, ëèáî f(z) = 0.

37

В первом случае доказательство теоремы заканчиваетсÿ, во втором из свойств комплексного сопряжения легко следует, чтоf(z) = f(z) = 0;

f(z) = 0, так что комплексным корнем служит число z. Доказательство

окончено.

Выведем несколько следствий этой великой теоремы Гаусса, доказанной им в 1779 году совсем другим аналитическим способом.

Теорема о неразложимых многочленах над полем комплексных чисел

Пусть f(Z) 2 C[Z] неразложимый над полем комплексных чисел

многочлен. Тогда это многочлен первой степени.

Действительно, по основной теореме алгебры многочленf имеет ком-

плексный корень z0. По теореме Безу этот многочлен делится на линей-

ный многочлен Z ¡ z0. В силу его неприводимости в результате деления

может получится только обратимый элемент кольца многочленов с комплексными коэффициентами. Заключаем, что многочленf имеет первую

степень. Доказательство окончено.

Теорема о комплексных дробях

Любая рациональная дробь над полем комплексных чисел представляется в виде суммы многочлена и простейших дробей вида

a=(Z ¡ zi)n; a; zi 2 C; n 2 N:

Это утверждение немедленно следует из теоремы о неразложимых многочленах и теоремы о рациональных дробях.

2.Корни производной

Âэтом разделе докажем теорему Гаусса о связи между корнями многочлена и корнями его производной. Зависимость между этими множествами формализует понятие выпуклой оболочки множества.

Полуплоскостью называем множество точек плоскости, лежащих по одну сторону от некоторой прямой. Сама прямая называется границей полуплоскости.

Если на плоскости выбрать некоторую систему координат XOY , òî

координаты такого множества точек определяется некоторым линейным

38

неравенством ax + by + c ¸ 0. Это неравенство полуплоскости, пер-

пендикулярной вектору с координатами (a; b). Граница полуплоскости определяется уравнением

ax + by + c = 0:

Если граница полуплоскости проходит через точкуA(x0; y0), то неравенство полуплоскости представляется в виде a(x ¡ x0) + b(y ¡ y0) ¸ 0.

Обратимся к комплексной 0плоскости0 . Â0 этом случае обозначим комплексные числа: z = x + yi, z = = x + y i, u = a ¡ bi =6 0. Легко под-

считать, что Re(uz) = ax + by и комплексная полуплоскость проходящая через комплексное число z0 определяется неравенством: Re(u(z¡z0)) ¸ 0, или же равносильным неравенством Re(uz) ¸ Re(uz0).

Выпуклым множеством плоскости называется такое подмножество, которое получается пересечением (возможно бесконечного числа) полуплоскостей. Если M некоторое подмножество плоскости, то выпук-

лой оболочкой множества M называют пересечение всех полуплоскостей, которые содержат множество M. Обозначение выпуклой оболочки : ConM. Очевидно, что любая точка самого множества принадлежит его выпуклой оболочке, ConM ¶ M.

Åñëè M подмножество комплексной плоскости, то любая полуплоскость Re(u(z ¡ z0) ¸ 0, которая содержит это множество выделяется условием : для любого c 2 M выполняется неравенство

Re(u(c ¡ z0) ¸ 0, или же равносильное этому неравенство Re(uc) ¸

Re(uz0).

Пусть теперь множество состоит из конечного числа комплексных точек M = fc1; :::; csg. Тогда для любого ненулевого u 2 Cn0 среди ве-

щественных чисел Re(uci); i = 1; :::; s найдется наименьшее Recj = minRe(uci). Обозначим это число через

cu = cj. Тогда полуплоскость содержащая множество определяется неравенством Re(u(z ¡ cu)) ¸ 0. Заключаем, что в этом случае выпуклая

оболочка множества представляется пересечением полуплоскостей

\

ConM = fzjRe(u(z ¡ cu)) ¸ 0g:

u2Cn0

Теорема Гаусса

Пусть f(Z) 2 Cn0 непостоянный полином с комплексными коэффициентами степени n, à c1; :::; cs все его комплексные корни. Рассмотрим

39

его производную полином f0(Z). Тогда все корни производной попадают в выпуклую оболочку множества корней самого полинома:

f0(z) = 0 ) z 2 Confc1; :::; cmg:

Действительно, используем основную теорему алгебры и представим полином в виде

f(Z) = (Z ¡ c1)m1 :::(Z ¡ cs)ms ; c1; :::; cs 2 C:

Вычислим его производную

Предположим, что z 2 C корень производной, f0(z) = 0.

Если это число корень самого многочлена,

f(z) = 0, то тогда оно принадлежит выпуклой оболочке множества кор-

ней как элемент множества корней. В этом случае доказательство закан- чивается.

Предположим теперь, что f(z) =6 0; z =6 ci;

i = 1; :::; s. Но тогда для произвольного u 2 Cn0 отношение f0(Z)=uf(Z)

Так что для этого корня производной Z = z такая сумма комплексных

дробей обращается в нуль. Заметим, что непременно

Re(uz) ¸ minRe(uci) = Re(ucu):

Действительно, если для всех корнейci имеем Re(uz) < Re(uci), то тогда

во всех слагаемых суммы выше имеем Re(mi=u(z ¡ ci)) < 0, òàê ÷òî

эта сумма не может обращаться в нуль. Но она как раз и равна нулю. Противоречие.

40