ALGEBRA

Все аксиомы коммутативного кольца хорошо известные свойства сложения и умножения целых чисел. Так что целые числа Z с обычны-

ми операциями образуют коммутативное кольцо. Его принято обозна- чать тем же символом Z. Примеры других колец будут изучены в по-

следующих разделах. А мы рассмотрим здесь исторически второй (после целых чисел) пример коммутативного кольца. Как раз от этого примера и произошло само понятие кольца. Прилагательное "коммутативное"присоединилось к этому существительному гораздо позже.

Пусть m положительное целое. Рассмотрим классы целых чисел по

модулю m Zm. Определим сложение и умножение классов по представителям. Если a; b два класса с представителями целыми a; b, òî

полагаем их суìмой тот класс чисел, который содержит сумму представителей a + b: a + b = a + b. А произведением двух классов считаем тот

класс, который содержит произведение представителей:a ¢ b = a ¢ b.

Теорема о кольце классов чисел

Совокупность классов чисел по модулю целого m образует комму-

тативное кольцо относительно введенных выше операций.

Это утверждение легко следует из свойств классов чисел.

Вначале заметим, что операции определены корректно, при выборе других представителей классов результаты сложения и умножения приведут к тем же классам чисел. Действительно, для сложения это следует из свойств (2), а для умножения из свойств (3).

Наконец аксиомы следуют из свойств целых чисел, так как представители классов складываются и перемножаются как целые числа.

Заметим, что нулевым классом служит класс нулевого числа0 = 0, à

единичным элементом классов класс, содержащий единицу как целое число 1 = 1.

Теорема доказана.

Особо важен случай классов вычетов по простому модулюp. Ýòî ñâÿ-

зано с важным дополнительным свойством.

Коммутативное кольцо называется полем, если кроме аксиом коммутативного кольца дополнительно выполняется аксиома поля

² Для любого ненулевого a =6 0 имеется обратный a¡1 для которого

a ¢ a¡1 = 1:

Теорема о поле классов чисел

11

Пусть p простое положительное целое. Тогда классы чисел по модулю p образуют не только коммутативное кольцо, но даже поле.

В силу теоремы о кольце классов следует только доказать обратимость каждого ненулевого класса чисел. В этом нам поможет теорема о полной системе вычетов.

Действительно, пусть a некоторый ненулевой класс чисел. Тогда его представитель ненулевое целое a, оно взаимно просто с модулем в силу простоты p, (a; p) = 1. По теореме о полной системе вычетов найдется такое целое x, для которого a ¢ x принадлежит единичному классу чисел по модулю m. Тогда x ¢ a ´ 1(p) è x обратный для класса

a. Доказательство окончено.

Конечно, это далеко не единственный в своем роде пример поля. Например, рациональные, вещественные и комплексные числа с операциями сложения и умножения образуют поля соответственно рациональных (Q), вещественных (R) и комплексных (C) чисел. Все аксиомы извест-

ные свойства операций сложения, умножения и деления рациональных и вещественных чисел. Более подробно поле комплексных чисел будет рассмотрено в конце этой книги.

12

Глава 2. Многочлены

1. Кольцо многочленов

Пусть имеется некоторое (коммутативное) кольцоK, à X некоторая переменная. Многочленом (полиномом) от переменной X с коэффициен-

f = a0 + a1 ¢

X + ::: + an ¢ Xn при некотором неотрицательном n è a0 2 K; :::; an 2 K. Элементы ao; :::; an называют коэффициентами многочлена f.

Если все коэффициенты многочлена равны нулю, то f нулевой

многочлен . А ненулевой многочлен содержит ненулевые коэффициенты. Степенью ненулевого многочлена f называют максимальное целое

deg(f) = m, для которого имеется ненулевой коэффициент, am =6 0. Сам этот коэффициент am называется старшим коэффициентом многочлена

. Степень нулевого многочлена будем считать равной символу¡1, êî-

торый считается меньше любого целого числа и произведение его с любым неотрицательным целым числом приводит к ¡1.

Пусть g = b0 + b1 ¢ X + ::: + bm ¢ Xm

считать для определенности, что n ¸ m. Многочлены f è g считаются равными, если у них равны соответствующие коэффициенты:

f = g , a0 = b0; :::; am = bm; am+1 = 0; :::; an = 0:

Так что всегда можно "дописать"к многочлену дополнительные более высокие степени переменной с нулевыми коэффициентами.

Элементы самого кольца K отождествляем с многочленами нулевой

степени a 2 K; a = a + 0 ¢ X + ::: + 0 ¢ Xn:

Так что кольцо K содержится во множестве многочленов. Наша цель

13

продолжить операции сложения и умножения с кольцаK на многочлены от переменной X. Это возможно по "обычным школьным"правилам.

Пусть f = a0 + a1 ¢ X + ::: + an ¢ Xn è g = b0 + b1 ¢ X + ::: + bm ¢ Xm.

Мы можем дополнить второй многочлен нулевыми одночленами более высоких степеней и считать, что n = m. Это будет предполагаться.

Определим сумму многочленов по формуле

f + g = (a0 + b0) + (a1 + b1) ¢ X + ::: + (an + bn) ¢ Xn;

а произведение есть многочлен f ¢g = c0 + c1 ¢X + ::: + cn ¢Xn; коэффици-

P

енты которого определяются формулами ci = s+t=i as ¢ bt i = 0; 1; :::; n:

Теорема о кольце многочленов

Пусть K произвольное коммутативное кольцо, а X переменная.

Многочлены с коэффициентами из кольца K образуют коммутативное

кольцо. Нулевым элементом этого кольца служит нулевой многочлен. Само кольцо K образует подкольцо этого кольца, образованное много-

членами степени нуль. Единицей кольца многочленов служит единица этого подкольца K.

íî. Остальные утверждения теоремы очевидны. Доказательство оконче-

14

Кольцо многочленов от переменной X с коэффициентами из поля K принято обозначать K[X].

Цель данной главы перенести теорию делимости целых чисел главы 1 на многочлены от одной переменной. Точка опоры такого переноса алгоритм Евклида для определения НОД.

В заключение определиммногочлены от нескольких переменных. Пусть даны несколько переменных X1; X2; :::; Xn. По индукции определяется

кольцо от переменных X1; :::; Xn. А именно, по теореме о кольце много- членов K[X1] коммутативное кольцо. ПолагаемK[X1; X2] = (K[X1])[X2] есть кольцо многочленов от переменнойX2 с коэффициентами из кольца K[X1]. Наконец если уже определено коммутативное кольцо многочленов K[X1; :::; Xn¡1] от переменных X1; :::; Xn¡1, то полагаем

K[X1; :::; Xn] = (K[X1; :::; Xn¡1])[Xn]:

Это коммутативное кольцо от переменной Xn с коэффициентами из

кольца K[X1; :::; Xn¡1].

2. Теория делимости многочленов

Пусть R произвольное (коммутативное) кольцо. Такое кольцо называется целостным , если для любых элементов r; s 2 R из равенства rs = 0 следует, что либо r = 0, ëèáî s = 0.

Примером целостного кольца служат целые числа Z. Любое поле целостное кольцо, поскольку из равенства rs = 0 и неравенства r =6 0 следует наличие обратного r¡1 ê r и выполняется равенство s = r¡1rs =

r¡1 ¢ 0 = 0.

Из свойства степени многочленов легко следует целостность кольца многочленов с коэффициентами из целостного кольца.

Лемма о о свойстве степени многочлена

Пусть P произвольное целостное кольцо. Тогда еслиf; g ненулевые многочлены кольца P [X], то для их суммы имеется неравенство степеней deg(f + g) · max(deg(f); deg(g)), а для произведения равенство

deg(f ¢ g) = deg(f) + deg(g).

Действительно, первое неравенство вполне очевидно для произвольного кольца коэффициентов P , второе равенство следует из целостности

кольца P .

15

Действительно, если f = a0 + a1 ¢ X + ::: + an ¢ Xn è g = b0 + b1 ¢ X +

::: + bm ¢ Xm два многочлена и старшие коэффициенты в такой записи

ненулевые,

an =6 0 =6 bm, то старший коэффициент произведения an ¢ bm ненулевой в силу целостности P . Это доказывает лемму.

Самое важное свойство целостных колец возможность сокращения на ненулевые элементы.

Лемма о сокращении

Пусть R целостное кольцо. Тогда если для некоторых элементов

x; y; r =6 0 этого кольца выполняется равенство xr = yr, òî x = y.

Действительно, из этого равенства следует соотношение

0= xr ¡ yr = (x ¡ y)r:

Âсилу целостности либо x ¡ y = 0; x = y, ëèáî r = 0. Но второе невоз-

можно по предположению r =6 0. Заключаем x = y. Лемма доказана.

обратимыми являются только элементы +1; ¡1,

Z¤ = f+1; ¡1g.

Два элемента r; s целостного кольца называются ассоциированными, если они отличаются на обратимый сомножитель из этого кольца:

r » s () r = ² ¢ s; ² 2 R¤:

Это понятие ассоциированности согласуется с понятием ассоциированности целых чисел как чисел отличающихся только знаком.

Åñëè r; s 2 R, то говорят, что r делит s, rjs, åñëè s = r ¢ t для некото-

ðîãî t 2 R.

öà. Отметим простые свойства делимости произвольного целостного коль-

²rjs; sjt =) rjt;

²rjs; rjt =) rj(s + t); rj(s ¡ t);

16

²rjs; t 2 R =) rjst;

²rjs1; :::; rjsn; t1; :::; tn 2 R =) rj(s1t1 + ::: + sntn);

²a 2 R¤; s 2 R =) ajs;

²a 2 R¤; r; s 2 R; rjs =) arjs;

²rjs; sjr =) r = as; a 2 R¤;

²a 2 R¤; rjs () rjas.

Поскольку обратимые элементы кольца делят любой элемент, то понятие делимости определено с точностью до ассоциированных элементов. Наибольшим общим делителем элементов r; s называют такой их

общий делитель d, который делится на любой другой общий делитель.

Такой делитель, если он существует, определен однозначно с точностью до ассоциированности. Обозначаем его через (r; s).

Обратимся к теории делимости кольца многочленов от одной переменной X с коэффициентами из поля P P [X]. Вначале необходимо

определить обратимые элементы такого целостного кольца.

Лемма об обратимых элементах многочленов

Пусть P ïîëå, à X переменная. Тогда обратимые элементы кольца многочленов P [X] есть ненулевые элементы самого поля P , P [X]¤ =

P .

Действительно, обратимость ненулевых элементов поляP следует из

аксиом поля. По построению кольца многочленов поле P содержится в

нем. Так что остается проверить, что верно и обратное, любой обратимый элемент кольца многочленов есть ненулевой элемент поля коэффициентов P , то есть это ненулевой полином нулевой степени.

Пусть f; g 2 P [X] произвольные многочлены, а многочлен f обратим и уже f ¢ g = 1. По свойству степени deg(fg) = deg(f) + deg(g) = 0, так что возможно только deg(f) = 0; f 2 P и этот многочлен ненулевой.

Лемма доказана.

Все это приводит к определению ассоциированности в кольце много- членов. Два многочлена f; g 2 P [X] называют ассоциированными, если

они отличаются на постоянный ненулевой сомножитель : f = c ¢ g; c 2

P; c 6= 0.

17

Каждый класс ассоциированных многочленов вполне определяется любым своим представителем. Остальные полиномы этого класса полу- чаются домножениями представителя на ненулевые элементы поля P .

Обычно в качестве представителя выбирают приведенный (унитарный, нормализованный) полином, старший коэффициент которого равняется единице поля P .

Существование наибольшего общего делителя многочленов следует из наличия в кольце многочленов от одной переменной с коэффициентами из поля алгоритма деления с остатком.

Теорема о делении многочленов с остатком

Пусть P произвольное поле, а X некоторая переменная. Тогда для любых двух многочленов f; g 2 P [X]; g =6 0 найдутся такие многочлены h; r 2 P [X], для которых f = g ¢ h + r, причем deg(r) < deg(g). Такие

многочлены этими условиями определяются однозначно.

Докажем существование. Пусть f = a0 + a1 ¢ X + ::: + an ¢ Xn è

g = b0 + b1 ¢ X + ::: + bm ¢ Xm, причем an =6 0 =6 bm, òàê ÷òî deg(f) = n;

deg(g) = m. Åñëè n < m, то достаточно положить h = 0; r = f. Поэтому будем предполагать, что n ¸ m и доказывать утверждение индукцией по n. При этом базой индукции служит уже разобранный случай степеней

n < m.

Произведем шаг индукции. Предположим утверждение теоремы доказанным для многочлена f степени меньше n. Рассмотрим многочлен

f1 = f ¡ ( an )Xn¡m ¢ g: bm

Легко заметить, если сравнить старшие степени слагаемых, что степень полученного многочлена n1 = deg(f1) строго меньше степени n = deg(f).

Применим предположение индукции к многочленуf1 и найдем такие многочлены h1; r, для которых f1 = g ¢ h1 + r è deg(r) < m. Но тогда

немедленно получаем искомое разложение f = f1 + ( an )Xn¡m ¢ g = (h1 +

( an )Xn¡m) ¢ g + r.

bm

bm Докажем однозначность. Пусть f = g ¢h1 + r1 еще одно разложение.

Тогда вычтем одно равенство из другого и получим тождество много- членов

(h ¡ h1) ¢ g = r1 ¡ r:

В силу свойств степени deg(r1 ¡ r) < deg(g), поэтому такое равенство

18

возможно только если r1 = r; h1 = h. Теорема доказана.

Следствие (алгоритм Евклида для многочленов)

Пусть P ïîëå, à P [X] кольцо многочленов. Пусть f è g два многочлена, причем g 6= 0. Строим последовательность многочленов rs; s 2 N по следующему правилу: полагаем вначале r1 = f; r2 = g.

Для того чтобы построить член ряда rs+1 после построения двух предыдущих членов rs¡1; rs делим rs¡1 íà rs с остатком и этот остаток и полагаем следующим членом последовательности: rs¡1 = rs ¢ q + rs+1.

По определению деления с остатком члены такой последовательности, начиная со второго, образуют последовательность многочленов убывающих степеней. Поэтому на некотором шаге получается нулевой член rt+1. Последний ненулевой член rt такой последовательности

и будет наибольшим общим делителем многочленов f è g, (f; g) = rt.

Обозначим r = rt. Докажем, что (f; g) = r.

Докажем вначале, что r общий делитель f; g. Мы покажем, что r делит все многочлены последовательности ri.

Действительно, последнее соотношение

rt¡1 = rt ¢ ht показывает, что r = rt делит rt¡1. Если уже показано, что r делит rs¡1 è rs, то из равенства rs¡2 = rs¡1 ¢ hs¡1 + rs следует, что и rs¡2 делится на r. Продолжая эти рассуждения мы установим, что r делит

f = r1 è g = r2.

Остается установить, что любой общий делитель q многочленов f è

g служит делителем и r. Покажем, что такой общий делитель делит все

многочлены построенной последовательности. Действительно, если уже показана делимость : qjrs¡2; qjrs¡1, то из равенства rs¡2 = rs¡1 ¢ hs¡1 + rs

следует, что qjrs. Опять продолжаем наши рассуждения начиная сf = r1 и и закончим их тем, что qjrt = r. Следствие доказано.

Теорема о диофантовом уравнении для многочленов

Наибольший общий делитель ненулевых многочленовf è g åñòü ìíî-

fh + gt

для некоторых многочленов h è t. В частности, многочлены f è g âçà-

имно просты тогда и только тогда, когда для некоторых многочленов h è t имеем соотношение 1 = fh + gt.

Действительно, пусть d = fh + gt многочлен наименьшей степени,

19

представимый в таком виде. Поделим f íà d с остатком,

f = dq + r; deg(r) < deg(d):

Тогда r = f ¡ dq = f ¡ (fh + gt)q = f(1 ¡ hq) + g(¡tq) есть многочлен

меньшей степени.

В силу минимальности r = 0 è djf. Аналогично, djg. Таким образом, d общий делитель f; g. Проверим, что он наибольший.

Действительно, если d0 общий делитель f è g, то из соотношения d = fh + gt сразу следует, что d0 делит d. Теорема доказана.

3. Факториальность кольца многочленов

Напомним, что в случае кольца многочленов с коэффициентами из некоторого поля обратимые элементы такого кольца в точности ненулевые многочлены степени нуль, ненулевые элементы поля коэффициен-

òîâ.Необратимый многочлен f (многочлен ненулевой степени) называ-

ется неразложимым, если его нельзя представить в виде произведения f = g ¢ h, в котором многочлены g; h ненулевой степени (многочлены g; h

сами необратимы).

Примером неприводимого многочлена служит любой многочлен первой степени. Действительно, поскольку степень произведения равна сумме степеней сомножителей, то он разлагается только в произведение многочлена нулевой степени и многочлена первой степени.

Теорема об однозначности разложения на множители

Пусть P ïîëå, à P [X] кольцо многочленов от переменной X с коэффициентами из поля P . Тогда любой ненулевой многочлен f 2 P

разлагается в произведение неприводимых многочленов f = p1:::pn.

Такое разложение однозначно с точностью до перестановки сомножителей и отношения ассоциированности между ними. Иными словами, если f = q1:::qm другое разложение в произведение неприводи-

мых многочленов, то должно выполняться равенство: n = m è ïî-

сле подходящей перенумерации сомножителей можно добиться, чтобы

p1 » q1; :::; pn » qn.

Доказательство проведем индукцией по степени многочленаf.

20