Тер.Вер методичка

Для каждого значения X xi можно вычислить соответствующее математическое ожидание M (Y | X xi ) . В результате получаем зависимости M (Y | x) (x) .

Функция (x ) называется функцией регрессии. Графики этих функций называются линиями регрессии.

Замечание. Аналогичным образом можно находить условные математические ожидания при y y j .

Критерии независимости

Случайные величины X и Y независимы, если независимы события

{X xi } и {Y y j } i, j .

Дискретные случайные величины независимы, если дляi 1, n; j 1, m : pij pxi pyj .

Случайные величины независимы, если условный и безусловный законы распределения совпадают.

Случайные величины X и Y независимы, если

F(x, y) F1(x) F2 ( y) .

Основные числовые характеристики

Математическим ожиданием двумерной случайной величины

( X ,Y ) называется совокупность математических ожиданий одномерных случайных величин:

Дисперсией двумерной случайной величины называется совокуп-

ность двух дисперсий:

61

Начальным моментом k ,s порядка k + s системы ( X ,Y ) называ-

ется

k,s M ( X kY s ) .

Замечания:

•mx 1,0 , my 0,1 ,

•начальный момент 2-го порядка 1,1 MXY («смешанное мат. ожидание») вычисляется как

Ковариацией cov(X ,Y ) или корреляционным моментом K XY на-

зывается:

KXY cov(X ,Y ) M[( X mx )(Y my )] .

Для дискретной случайной величины:

n m

K XY (xi mx )( y j my ) pij . i 1 j 1

Ковариацию удобнее вычислять по формуле

KXY MXY MX MY .

62

Замечания:

а) KXY KYX ,

б) KXX DX , KYY DY ,

в) для независимых случайных величин KXY 0 .

Коэффициентом корреляции называется

rXY K XY ,

X Y

где X DX , Y DY – средние квадратические отклонения.

Замечания:

а) rXY 1 ,

б) если случайные величины независимы: rXY 0

в) если Y aX b (случайные величины связаны линейной зависимостью):

Ковариационной матрицей называется матрица

ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ I

Задания

1. Записать закон распределения случайного вектора ( X ,Y ) (в виде таблицы).

2.Найти функцию распределения.

3.Описать законы распределения отдельных компонент.

4.Установить зависимость компонент X и Y.

5.Найти условные законы и условные мат. ожидания, построить

линии регрессий.

6.Найти ковариационную (корреляционную) матрицу.

7.Найти rXY .

63

Варианты

1.Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: X – число появлений «5», Y – число появлений четной цифры.

2.Один раз подбрасывается игральная кость. Случайные величины: X – индикатор четного числа выпавших очков, Y – индикатор числа

очков, кратного 3.

3. Два игрока – Первый и Второй – наудачу вытаскивают по одному шару из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара. Первый начинает. X – число белых шаров у первого, Y – число белых шаров у второго.

4.Случайная величина X принимает значения 0;1;3 с вероятностями 0,1;0,8;0,1. Случайная величина Y принимает значения –1;0;1 с вероятностями 0,3;0,5;0,2. X и Y независимы.

5.В продукции завода брак с дефектом первого типа составляет 4 %, брак с дефектом второго типа – 2 %. Годная продукция составляет 96 %. X – продукция с браком первого типа, Y – продукция с браком

второго типа.

6. Один раз подбрасывается игральная кость. Случайные величины: X – индикатор нечетного числа выпавших очков, Y – индикатор числа очков, кратного 2.

7. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, наудачу извлекают 2 шара без возвращения. Случайные величины: X – число белых шаров в выборке, Y – число черных шаров в выборке.

8. Один раз подбрасывается игральная кость. Случайные величины: X – индикатор четного числа выпавших очков, Y – индикатор числа очков, кратного 2.

9. Бросаются две игральные кости. Случайные величины: X – индикатор четности суммы выпавших очков, Y – индикатор нечетности произведения выпавших очков.

10.В продукции завода брак с дефектом первого типа составляет 2 %, брак с дефектом второго типа – 1 %. Годная продукция составляет 98 %. X – продукция с браком первого типа, Y – продукция с браком второго типа.

11.Два игрока – Первый и Второй – наудачу вытаскивают по одному шару из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шара. Первый начинает. X – число черных шаров у первого, Y – число черных шаров

увторого.

64

12.Бросаются две игральные кости. Случайные величины: X – индикатор нечетности суммы выпавших очков, Y – индикатор четности произведения выпавших очков.

13.Два игрока – Первый и Второй – наудачу вытаскивают по од-

ному шару из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара. Первый начинает. X – число белых шаров у первого, Y – число белых шаров у второго.

14. В продукции завода брак с дефектом первого типа составляет 5 %, причем среди забракованной по этому признаку продукции в 3 % случаев встречается дефект второго типа. В продукции, свободной от дефекта первого типа, дефект второго типа встречается в 2 % случаев. X – продукция с браком первого типа, Y – продукция с браком второго типа.

15. Бросаются две игральные кости. Случайные величины: X – индикатор нечетности суммы выпавших очков, Y – индикатор нечетности произведения выпавших очков.

16. Один раз подбрасывается игральная кость. Случайные величины: X – индикатор нечетного числа выпавших очков, Y – индикатор числа очков, кратного 3.

17.Два игрока – Первый и Второй – наудачу вытаскивают по одному шару из урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара. Второй начинает. X – число белых шаров у первого, Y – число белых шаров у второго.

18.Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: X – число появлений «3», Y – число появлений нечетной цифры.

19.В продукции завода брак с дефектом второго типа составляет

3 %, причем среди забракованной по этому признаку продукции в 2 % случаев встречается дефект первого типа. В продукции, свободной от дефекта второго типа, дефект первого типа встречается в 3 % случаев. X – продукция с браком первого типа, Y – продукция с браком второго типа.

20. Два игрока – Первый и Второй – наудачу вытаскивают по одному шару из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара. Первый начинает. X – число белых шаров у первого, Y – число черных шаров у второго.

21.Случайная величина X принимает значения –1;0;1 с вероятностями 0,2;0,5;0,3. Случайная величина Y принимает значения –1;0;1

свероятностями 0,1;0,1;0,8. X и Y независимы.

22.Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: X –

число появлений «4», Y – число появлений четной цифры.

65

23.Один раз подбрасывается игральная кость. Случайные величины: X – индикатор нечетного числа выпавших очков, Y – индикатор числа очков, кратного 5.

24.Два игрока – Первый и Второй – наудачу вытаскивают по од-

ному шару из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара. Первый начинает. X – число белых шаров у первого, Y – число белых шаров у второго.

25.Случайная величина X принимает значения 0;3;6 с вероятностями 0,2;0,7;0,1. Случайная величина Y принимает значения –2;–;0

свероятностями 0,2;0,6;0,2. X и Y независимы.

26.В продукции завода брак с дефектом первого типа составляет 3 %, брак с дефектом второго типа – 4 %. Годная продукция (не содер-

жащая брак с дефектами обоих типов) составляет 95 %. X – продукция с браком первого типа, Y – продукция с браком второго типа.

Р а з д е л II

НЕПРЕРЫВНЫЕ ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Плотностью распределения непрерывной двумерной случайной величины называется вторая смешанная производная ее функции распределения:

Случайная величина ( X ,Y ) равномерно распределена в области D площадью SD , если ее плотность распределения задается так:

Значение константы однозначно определяется условием норми-

ровки:

f (x, y)dxdy 1 .

66

Отсюда

c 1/ SD .

Пусть X – непрерывная случайная величина с плотностью распределения f1(x) , Y – непрерывная случайная величина с плотностью

распределения f2 ( y) , f (x, y) – плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины ( X , Y ).

По известной двумерной плотности распределения f (x, y) можно однозначно восстановить одномерные плотности распределения:

f1(x) f (x, y)dy ,

f2 ( y) f (x, y)dx .

Случайные величины X и Y независимы, если f (x, y) f1(x) f2 ( y)

Плотность вероятности условного распределения непрерывной случайной величины Y при условии X = x (условная плотность):

Плотность вероятности условного распределения непрерывной случайной величины X при условии Y = y:

Отсюда

f (x, y) f1(x) f ( y | x) f2 ( y) f (x | y) .

67

Основные числовые характеристики

Точка с координатами (mx , my ) называется центром рассеивания.

Дисперсией двумерной случайной величины называется совокупность двух дисперсий:

DX (x mx )2 f (x, y)dxdy ;

DY ( y my )2 f (x, y)dxdy .

Математическое ожидание функции непрерывной случайной ве-

личины (X , Y ) :

M ( ( X ,Y )) (x, y) f (x, y)dxdy .

Смешанное математическое ожидание

MXY xy f (x, y)dxdy .

Ковариация в случае непрерывных случайных величин:

K XY xy f (x, y)dxdy mxmy .

68

Коэффициент корреляции:

– средние квадратические отклонения Функции регрессии в случае непрерывных случайных величин есть

условные математические ожидания:

(x) M (Y | x) y f ( y | x)dy ,

( y) M ( X | y) x f (x | y)dx ,

где f ( y | x) и f (x | y) – условные плотности распределения.

ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ II

Задания

1.Написать выражение для f (x, y) .

2.Найти f1(x) , f2 (x) .

3.Найти координаты центра рассеивания.

4.Сделать вывод о зависимости X и Y.

5.Найти плотности условных распределений

6.Найти ковариационную матрицу.

7.Найти rXY .

Варианты

1.Случайные величины X и Y независимы и распределены по законам R(–1,1), R(0,2) соответственно.

2.Случайный вектор (X, Y) распределен равномерно в треугольнике с вершинами в точках (–1,0), (1,2), (1,0).

69

3. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:

4.Случайный вектор (X, Y) распределен равномерно в квадрате со стороной а и диагоналями, совпадающими с осями координат.

5.Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X, Y)

имеет следующий вид:

6.Случайный вектор (X, Y) распределен равномерно в треугольнике с вершинами в точках (–1,0), (0,1), (0,0).

7.Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X, Y) имеет следующий вид:

8. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X, Y) имеет следующий вид:

9. Двумерная случайная величина имеет равномерное распределение в области:

1 x 2; 1 y 2 .

10. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X, Y) имеет следующий вид: