Тер.Вер методичка
.pdfвом, что по определению является сочетанием. Тогда число случаев равно числу сочетаний из общего числа шаров a + b по 2 шара:
N C2 |
|
a b ! |
a b a b 1 . |
|
|
|
|||
a b |
|
2! a b 2 ! |
2 |
|
|
|
|||
Благоприятными случаями являются те комбинации, в которые входят один белый и один черный шары. Подсчитаем число таких комбинаций. Один белый шар можно выбрать a способами. Один черный шар можно выбрать b способами. Тогда число комбинаций, в которых один шар белый, другой черный равно mA = ab.
P A |
mA |
|
2ab |
. |
|
a b a b 1 |
|||
|
N |
|
||
Пример 3. В урне лежат a белых, b черных шаров. Из урны вынимают сразу n (n < a + b) шаров. Найти вероятность того, что из них m (m < a) шаров будут белые, а остальные n–m черные.
Решение. Найдем вероятность события A = {из вынутых n шаров m белых, остальные n–m черные}. Возьмем за случай событие = {вы-
тащили n шаров с номерами i1, i2, …, in} (i1, i2, …, in = 1, 2, …, a + b, i1≠i2≠…≠in). Так как порядок, в котором были вытащены шары, не ва-
жен, то на случаи можно смотреть как на сочетания. Тогда общее число случаев равно N Can b . Подсчитаем число благоприятных случаев.
Из всех комбинаций (случаев) по n шаров нужно выбрать те, в которых m белых шаров и n – m черных. Число таких комбинаций равно произведению числа комбинаций, составленных из m белых шаров, выбран-
ных из общего числа белых шаров Cam , на число комбинаций, составленных из n – m черных шаров, выбранных из общего числа черных шаров Cbn m : mA = Cam Cbn m . Тогда
P A |
m |
A |
|
CmCn m |
|
|
|
a b |
. |
||
|
|
|
|||
|
N |
Can b |
|||
Пример 4. В ящике находится N деталей. Из них n бракованных. Наугад из ящика берут K деталей, а затем из этих K деталей также
21
наугад берут одну деталь. Найти вероятность того, что эта деталь бракованная.
Решение. Найдем вероятность события A = {деталь бракованная}. Для того чтобы различать детали, присвоим каждой из них номер. Пусть № 1, 2, 3, …, n – бракованные детали, № n + 1, n + 2, …, N – годные детали. Возьмем за случай событие i = {взятая из K деталей деталь имеет № i (i = 1, 2, …, N)}. Очевидно, эти события несовместны (деталь может иметь только один номер), образуют полную группу событий (опыт обязательно закончится одними из событий i) и равновозможны (шансы быть вытащенной у каждой детали одинаковы). Всего случаев N, благоприятные событию А только первые n из них. Тогда P(A) = n/N.
Пример 5. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набирал их наугад, помня только, что эти цифры нечетные и различные. Какова вероятность того, что номер набран верно?
Решение. Выпишем нечетные цифры: 1; 3; 5; 7; 9 – их пять. Телефонный номер должен заканчиваться на 2 цифры, взятые из этого ряда. Для определенности пусть это будут цифры «7» и «9», т.е. номер телефона оканчивается «79». Тогда интересующее нас событие A = {последние две цифры, набранные абонентом, «79»}. Случай состоит в наборе двух неповторяющихся нечетных цифр. Подсчитаем общее число случаев. В данной задаче важно не только, какие две цифры были набраны, но и в каком порядке. Таким образом, общее число случа-
ев равно числу размещений из 5 цифр по 2: N A2 |
|
|
|
|
5! |
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
5 |
2 ! |
|||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 4 20 . |
|
Благоприятных случаев только 1: mA |
= |
|
1. |
Тогда |
|||||||
P A |
mA |
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
N |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 6. Четыре шарика случайным образом разбрасываются по четырем лункам; каждый шарик попадет в ту или другую лунку с одинаковой вероятностью независимо от других (препятствий к попаданию в одну и ту же лунку нескольких шариков нет). Найти веро-
22
ятность того, что в одной из лунок окажутся три шарика, в другой один, а в двух остальных шариков не будет.
Решение. Пронумеруем лунки: 1, 2, 3, 4. За случай возьмем событие= {первый шарик попал в i-ю лунку, второй в j-ю, третий в k-ю, четвертый в l-ю} (i, j, k, l = 1, 2, 3, 4). Тогда случай можно записать как комбинацию из четырех цифр 1, 2, 3 и 4, в которой цифры могут повторяться = {ijkl}. Порядок расположения цифр здесь важен, поскольку место под цифру определяет номер шарика. Подсчитаем число таких комбинаций. Первую позицию этой комбинации можно заполнить любой из четырех цифр n1 = 4. Вторую позицию, поскольку цифры повторяются, также можно заполнить любой из четырех цифр n2 = 4. Аналогично n3 = n4 = 4. Тогда общее число комбинаций (случаев) определяется перемножением способов заполнения четырех пози-
ций: N n1n2n3n4 4 4 4 4 44 . Подсчитаем число благоприятных
случаев. Событие А = {В одной из лунок оказались три шарика, в другой один, а в двух остальных шариков не оказалось} соответствует тем комбинациям, в которых три цифры одинаковые и одна отличная от них. Составим такие комбинации. Вначале выберем позицию под неповторяющуюся цифру. Это можно сделать четырьмя способами n1 = 4. Далее заполним эту позицию одной из четырех цифр n2 = 4. Затем оставшиеся три позиции заполним одной из трех оставшихся цифр n3 = 3. Тогда число таких комбинаций (благоприятных случаев) равно
mA n1n2n3 4 4 3 42 3
P A |
mA |
|
42 3 |
|
|
|
3 |
. |
|
|
|
||||||
|
N 44 |
|
16 |
|
||||
ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ III
1.В лотерее выпущено n билетов, из которых m выигрышных. Куплено k билетов. Найти вероятность того, что:
а) из k билетов хотя бы один выигрышный; б) из k билетов ровно один выигрышный.
2.В генуэзской лотерее разыгрывается 90 номеров, из которых выигрывают 5. По условию можно ставить ту или иную сумму на любой из 90 номеров или на любую совокупность двух, трех, четырех или
23
пяти номеров, причем для получения выигрыша должны выиграть все выбранные номера. Какова вероятность выигрыша в каждом из пяти указанных случаев?
3. Комиссию из трех человек выбирают из группы, содержащей 20 человек. Найти вероятность того, что:
а) определенный человек войдет в комиссию; б) он не войдет в комиссию.
4. В связке галстуков 10 зеленых, 6 красных и 4 желтых галстука. Трое мужчин выбирают себе галстук. Найти вероятность того, что они выберут себе галстуки одинакового цвета.
5.Все номера автомобилей четырехзначные, начиная с 0000, не повторяющиеся, равновозможные. Определить вероятность того, что номер первого встретившегося автомобиля имеет ровно 2 одинаковые цифры.
6.Все номера автомобилей четырехзначные, начиная с 0000, не повторяющиеся, равновозможные. Определить вероятность того, что
номер первого встретившегося автомобиля: а) не содержит одинаковых цифр; б) имеет не менее 2 одинаковых цифр.
7. Составляя список гостей, которые будут приглашены на день рождения, хозяйка пронумеровала их, получилось 14 человек. Забыв про список, наудачу она набрала номера девяти друзей. Найти вероятность того, что в составе приглашенных оказались:
а) № 9 и № 13; б) № 1, № 5 и № 14.
8.В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.
9.В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных номерами 1; 2; ...; 10. Наудачу извлечены шесть деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажутся: а) Деталь № 1. б) Детали № 1 и № 2.
10.Выбирается пятизначное число. Найти вероятность того, что:
а) число одинаково читается как слева направо, так и справа налево (например 13531);
б) число содержит хотя бы одну из цифр 2 или 3; в) число состоит из нечетных цифр.
24
11.В ящике находится 5 книг. Мальчик 5 раз берет из ящика по одной книге, каждый раз возвращает книгу обратно. Найти вероятность того, что все 5 выбранных книг были различными.
12.В партии из 8 телевизоров половина не настроены. Наудачу
отобраны три телевизора. Какова вероятность того, что в число отобранных попадет хотя бы один настроенный.
13.Из колоды в 36 листов вынимаются наугад 4 карты. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы один туз.
14.Из партии, содержащей 20 радиоприемников, среди которых
6 неисправных, для проверки отбирают 3 приемника. Найти вероятность того, что:
а) все отобранные приемники исправны; б) все отобранные приемники неисправны.
15. Четыре посетителя театра сдали свои шляпы в гардероб одновременно и получили от гардеробщицы номерки. Но после этого она перепутала все шляпы и повесила их наугад на четыре номера. Найти вероятность того, что каждому из четырех лиц гардеробщица выдаст его собственную шляпу.
16. За круглым столом рассаживаются n человек. Найти вероятность того, что два фиксированных лица окажутся рядом. Как изменится ответ, если n человек рассаживаются в произвольном порядке вдоль одной скамьи?
17.На складе имеется 15 телевизоров, причем 10 из них изготовлены фирмой SONY. Найти вероятность того, что из пяти взятых наудачу телевизоров ровно три окажутся фирмы SONY.
18.В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окра-
шены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся:
а) ровно одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие.
19.Игральная кость брошена три раза. Найти вероятность того, что все выпавшие грани различны.
20.Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера. Определить вероятность того, что извлеченный
кубик будет иметь:
а) три окрашенные грани; б) ровно две окрашенные грани;
в) ровно одну окрашенную грань.
25
21.Из колоды в 52 карты извлекают три карты. Найти вероятность того, что извлечены тройка, семерка и туз (неважно какой масти).
22.Найти вероятность того, что в группе из n человек (n 365) хотя бы у двух дни рождения совпадут. Для простоты положить, что 29 февраля не является днем рождения кого-нибудь из рассматриваемой группы людей.
23.В лифт 9-этажного дома на первом этаже вошли 5 человек. Известно, что каждый из них с равной вероятностью может выйти на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все
пятеро выйдут на разных этажах.
24. В кафе имеется 6 свободных столов: по два места за каждым столом, 3 стола из которых – для самообслуживания. Найдите вероятность того, что две пришедшие пары займут столы, которые обслуживаются официантами.
25. Полная колода карт (52 листа) делится на две равные части. Найти вероятности того, что:
а) в каждой части будут по два туза; б) в одной из частей не будет ни одного туза.
Р а з д е л IV
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Классическое определение вероятности не подходит для случаев, когда исходы опыта составляют несчетное множество. Самым простым примером может служить следующая задача.
u |
|
В пределы некоторой области Ω случайным образом |
|
|
A |
бросается точка u. Необходимо найти вероятность |
|
|
того, что точка попадет в область А. Выражение |
||
|
|||
|
|
«случайным образом», означает, что шансы попасть в |
|
|
|
любую точку области Ω одинаковы. Тогда вероят- |
ность попадания точки u в область А логично определить как отношение площадей области А к области Ω:
P A SA .
S
26
Можно распространить этот принцип определения вероятности на общий случай несчетного множества элементарных исходов опыта:
|
P A |
mes A |
|
|
|
, |
|
|
mes |
||
где mes A |
– мера события А, mes – мера пространства элемен- |
||
тарных исходов Ω. В предыдущем примере мерой множества элементарных исходов была площадь. Можно привести пример, где мерой будет длина: на отрезок BC наудачу бросается точка u. Найдем вероятность попадания точки u на отрезок DE:
B |
u |
D |
E |
C |
|
|
|
A = {точка u попала на отрезок DE}.
P( A) mes( A) DE . mes( ) ВC
Здесь DE – длина отрезка DE, ВC – длина отрезка BC.
Такой способ определения вероятностей называется геометрическим. Он применим только тогда, когда все точки пространства элементарных исходов Ω равновозможны.
Пример 1 (задача о встрече). Двое условились о встрече в определенном месте между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет второго в течение 1/4 часа и, не дождавшись, уходит. Найти вероятность встречи, если каждый приходит случайным образом.
Решение. Обозначим через x – момент прихода первого участника встречи, а через y – момент прихода второго. Очевидно, 12 ≤ x ≤ 13 и 12 ≤ y ≤ 13. Тогда пространство элементарных исходов – это
множество точек (x, y), удовлетворяющих этим неравенствам: |
|
x, y : 12 x 13 |
12 y 13 . Условие того, что каждый из уча- |
стников встречи ждет не более четверти часа, можно представить в виде
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
A x, y : |
|
y x |
|
|
|
|
x, y : |
|
y x |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
1 |
|
Изобразим множества Ω и A на плоско- |
|
|
|
|
y x |
|
||||
13 |
|
|
|
4 |
|
сти x0y. За начало отсчета возьмем 12 ча- |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
(x,y) |
|
|
|
сов. Элементарным исходом будет точка |
||
|
|
|
|
|
A |
y x 1 |
с координатами (x, y). Пространством эле- |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
12 |
|
|
|
|
4 |
ментарных исходов |
является квадрат со |
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
стороной, равной 1. |
Событие A состоит из |
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
точек заштрихованной области. Тогда веро- |
|||
12 |
0 |
12 |
1 |
|
13 |
|||
|
|
4 |
|
|
ятность события A равна отношению пло- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
щади заштрихованной области к площади квадрата. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
SA |
|
S 2S |
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
P A |
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
S |
S |
|
|
1 |
|
|
|
|
16 |
|
|||
Пример 2 (задача Бюффона). На плоскости нанесены параллельные прямые, расстояние между которыми равно L. На эту плоскость наугад бросается игла длиной a (a ≤ L). Какова вероятность того, что игла пересечет одну из начерченных линий?
Решение. Пусть φ – угол наклона иглы к |
|
|
|
1 |
L |
|
|
||
прямой, x – расстояние от нижнего конца |
|
|
|
|
asin |
a |
|
2 |
|
|
||||
иглы до ближайшей верхней прямой. Оче- |
|
|
x |
|
L |
|
|
||
видно x и φ – два независимых параметра, |
|
|
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
определяющих положение иглы относи- |
L |
|
|
|
тельно прямых. 0 ≤ x ≤ L (если x будет |
|
|
|
4 |
|
|
|
больше L, то ближайшей верхней прямой будет прямая 3, и расстояние от нижнего конца иглы будет определяться до нее). 0 ≤ φ ≤ π (если φ будет меньше 0 или больше π, то «нижний» конец иглы становится верхним). Игла будет пересекать прямую при условии, что x asin .
x Таким образом, A , x : x asin ;
L |
(( ,,õx) ) |
|
|
|
|
|
|
Ω |
a |
|
|
|
x a sin |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
0 |
π/2 |
π |
, x : 0 |
0 x L . |
Изобразим на плоскости 0x пространство элементарных исходов и событие A.
28
P A |
mes A |
|
|
SA |
; |
mes |
|
||||
|
|
|
S |
||
|
|
|
|
|
|
SA a sin d 2a ; |
S L . |
||||
0 |
|
|
|
|
|
Тогда P A 2a L
ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ IV
1. В круге радиусом R проводятся хорды параллельно заданному направлению. Какова вероятность того, что длина наугад взятой хорды не более R, если равновозможны любые положения точек пересечения хорды с диаметром, перпендикулярным выбранному направлению?
2. Прямоугольная решетка состоит из цилиндрических прутьев радиусом r. Расстояния между осями прутьев равны соответственно a и b. Определить вероятность попадания шариком диаметром d в решетку при одном бросании без прицеливания, если траектория полета шарика перпендикулярна плоскости решетки.
3. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами?
4.На отрезок [0;2] наугад, независимо друг от друга брошены две точки и . Найти P{| – |>0,5}.
5.На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата а бросают наудачу монету диаметром 2r < a. Найти вероятность того, что
монета попадет целиком внутрь квадрата.
6. Имеется магнитофонная лента длиной L = 200 м, на обеих сторонах которой записаны данные: на одной стороне сообщение длиной L1 = 30 м, на другой – длиной L2 = 10 м; местоположение записей неизвестно. В связи с повреждением участок ленты длиной L0 = 10 м, начинающийся на расстоянии 80 м от начала ленты, был удален. Найти вероятность того, что ни та, ни другая запись не повреждена.
7. На отрезок АВ длиной 12 см наугад ставят точку М. Найдите вероятность того, что площадь квадрата, построенного на отрезке АМ, будет заключена между 36 см2 и 81 см2.
29
8. Расстояние от пункта А до В автобус проходит за 2 мин, а пешеход – за 15 мин. Интервал движения автобусов 25 мин. Вы подходите в случайный момент времени к пункту А и отправляетесь в пункт В пешком. Найдите вероятность того, что в пути вас догонит очередной автобус.
9. Два лица имеют одинаковую вероятность прийти к указанному месту в любой момент промежутка времени T. Определить вероятность того, что время ожидания одним другого будет не больше t.
10.На паркет, составленный из правильных треугольников со стороной а, случайно брошена монета радиусом r. Найдите вероятность того, что монета не заденет границы ни одного из треугольников.
11.Стержень длиной а наудачу разломан на 3 части. Любые воз-
можные варианты длин частей равновероятны. Найдите вероятность того, что длина каждой части окажется больше а4 .
12.Найдите вероятность того, что сумма двух наудачу взятых чисел из отрезка [–1,1] больше нуля, а их произведение отрицательно.
13.На окружность радиусом R наудачу поставлены три точки А, В, С. Найдите вероятность того, что треугольник АВС остроугольный.
14.Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу.
Время прихода обоих пароходов равновозможно в течение данных суток. Найдите вероятность того, что одному из пароходов придется ждать освобождения причала, если время стоянки первого парохода 1 ч, а второго 2 ч.
15. В одной из популярных в Америке игр игрок бросает монету с достаточно большого расстояния на поверхность стола, разграфленного на однодюймовые квадраты. Если монета (3/4 дюйма в диаметре) попадает полностью внутрь квадрата, то игрок получает награду, в противном случае он теряет свою монету. Каковы шансы выиграть, при условии, что монета упала на стол?
16. Стержень единичной длины произвольным образом разламывается на три части длиной x, y, z. Любые возможные варианты длин частей равновероятны. Найти вероятность того, что из полученных частей можно составить треугольник.
17. В квадрат со стороной l наудачу брошена точка А. Найдите вероятности следующих событий:
а) расстояние от точки А до фиксированной стороны квадрата не превосходит х;
30