Тер.Вер методичка

5.В помещении четыре лампы. Вероятность работы в течение года для каждой лампы 0,8. Найти вероятность того, что к концу года горят ровно три лампы. Чему равно наивероятнейшее число ламп, которые будут работать в течение года?

6.Что вероятнее выиграть у равносильного шахматиста (ничейный исход партии исключен): больше одной партии из четырех или

больше двух партий из пяти?

7. Для нормального обслуживания пассажиров на данном маршруте требуется не менее 20 автобусов. Всего же для этой цели выделено 22 автобуса с учетом того, что каждый из них, независимо от остальных, выходит на линию с вероятностью 0,95. С какой вероятностью обслуживание пассажиров на данном маршруте будет нормальным?

8. На испытательном стенде было установлено 10 приборов. Известно, что каждый из них независимо от остальных приборов во время испытания выходит из строя с вероятностью 0,15. Вычислить:

1)вероятность того, что за время испытаний отказало ровно три прибора;

2)условную вероятность того, что отказало ровно три прибора, если известно, что не все приборы выдержали испытание.

9. В лифт 9-этажного дома на первом этаже вошли 6 человек. По требованию одного из них лифт остановился на 7 этаже. С какой вероятностью на этом этаже из лифта (из числа данных шести пассажиров):

1)вышел лишь один человек;

2)вышли два человека;

3)вышли не менее двух человек;

4)вышли шесть человек.

Для каждого человека шансы выйти со 2-го по 9-й этаж одинаковы. Люди выходят независимо друг от друга.

10. Для стрелка, выполняющего стрельбу в тире, вероятность попасть в «яблочко» при одном выстреле не зависит от результатов предшествующих выстрелов и равна 0,25. Стрелок сделал 5 выстрелов. Найти вероятность:

1)хотя бы одного попадания;

2)ровно одного попадания;

3)не менее трех попаданий.

11. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов нужно произвести, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?

51

12.Пара игральных костей бросается 7 раз. Найти вероятность того, что сумма очков на двух костях, равная семи, выпадет дважды.

13.Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,95.. Сколько деталей должно быть в партии, чтобы наивероятнейшее число

нестандартных деталей равнялось 55?

14. Контрольное задание состоит из 10 вопросов, предусматривающих ответы: «да» и «нет». Найдите наиболее вероятное число правильных ответов, которые даст учащийся, если он станет выбирать ответ по каждому вопросу наудачу. Найдите вероятность наиболее вероятного числа правильных ответов.

15.Найдите наиболее вероятное число выпадений шестерки при 46 бросаниях игральной кости.

16.Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что из 5 первых покупателей обувь этого размера понадобится: а) одному; б) по крайней мере

одному.

17. Что вероятнее: выиграть у равносильного партнера ровно три партии из четырех или ровно пять партий из восьми? (Ничья исключается.)

18. По данным технологического контроля в среднем 2 % выпущенных станков нуждается в дополнительной регулировке. Какова вероятность того, что из шести выпущенных станков не менее двух потребуют дополнительной регулировки?

19. Производится 2n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность успеха равна р. Найдите вероятность того, что все испытания с четными номерами закончатся успехом и общее число

успехов будет равно n + m (0 m n).

20. Определите вероятность того, что номер первой встретившейся автомашины не содержит: а) цифры 5; б) 2 и более пятерок; в) ровно 2 пятерки. (Предполагается, что номер машины состоит из 4 цифр.)

21.В опыте, состоящем из трех испытаний, вероятность ровно двух успехов в 12 раз больше вероятности трех успехов. Найти р-веро- ятность успеха в одном испытании.

22.В библиотеке имеются книги только по технике и математике.

Вероятности того, что любой читатель возьмет книгу по технике и по математике, равны соответственно 0,7 и 0,3. Определить вероятность того, что пять читателей подряд возьмут книги или только по технике, или только по математике, если каждый из них берет только одну книгу.

52

23. Контрольное задание состоит из 5 вопросов, на каждый из которых дается 4 варианта ответа, причем один из них правильный, а остальные неправильные. Найдите вероятность того, что учащийся, не знающий ни одного вопроса, даст: а) 3 правильных ответа; б) не менее 3 правильных ответов (предполагается, что учащийся выбирает ответы наудачу).

24. При передаче сообщения вероятность искажения для каждого знака равна 0,1. Какова вероятность того, что сообщение из 5 знаков: а) не будет искажено; б) содержит ровно одно искажение; в) содержит не более 3 искажений?

25. В лифт 9-этажного дома на первом этаже вошли 5 человек. Вычислите вероятность того, что на 6-м этаже:

1)не выйдет ни один из них;

2)выйдет один из них;

3)выйдут трое из них.

Для каждого человека шансы выйти со 2-го по 9-й этажи одинаковы. Люди выходят независимо друг от друга.

53

Часть 2

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

1. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Пусть , S, p – вероятностное пространство ( – пространство элементарных событий, S – -алгебра событий, p – вероятности событий); – множество вещественных чисел.

Будем обозначать X случайную величину, x – принимаемые этой величиной значения.

Случайной величиной X называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий , которая каждому эле-

Случайная величина, принимающая конечное или счетное число значений, называется дискретной.

Закон распределения дискретной случайной величины представляет собой таблицу, в которой значениям, принимаемым случайной величиной, сопоставлены их вероятности, причем события {X xi },

n

i 1, n образуют полную группу событий, т. е. pi 1 (условие нор-

i 1

мировки):

Функцией распределения случайной величины называется функция F (x) , которая для x равна вероятности события P{X x} :

F(x) P{X x} .

F (x) есть неубывающая, непрерывная слева функция, удовлетворяющая свойствам:

1)0 F(x) 1;

2)F( ) 0, F( ) 1 ;

3)P{a x b} F(a) F(b) .

Функция распределения дискретной случайной величины

F (x) pk .

xk x

Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется

a

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если ее плотность распределения:

причем константа однозначно определяется условием нормировки: c 1/(b a) .

55

Основные числовые характеристики

Математическое ожидание МХ

Для дискретной случайной величины X , принимающей значения xi с соответствующими вероятностями pi :

МХ mx xi pi

i 1

(ряд предполагается абсолютно сходящимся).

Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения f (x) :

МХ mx x f (x)dx

(интеграл предполагается абсолютно сходящимся).

Начальный момент порядка k:

k M (X k ) .

В случае дискретной случайной величины:

n

k xk pk .

k1

Вслучае непрерывной случайной величины:

k xk f (x)dx.

Дисперсия:

DX M (X MX )2 2 12.

Среднее квадратическое отклонение

x DX .

56

Центральный момент порядка k:

k M ( X MX )k .

В частности,

2 2 12 DX .

Для дискретной случайной величины:

(X и Y – независимые случайные величины)

2. ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Пусть X – случайная величина с функцией распределения F1(x) , Y – случайная величина с функцией распределения F2 ( y) , F(x, y) – функция распределения двумерной случайной величины ( X ,Y ).

Функцией распределения двумерной случайной величины ( X ,Y ) называется функция

F(x, y) P{X x,Y y} x, y .

57

Вероятность попадания в прямоугольник, ограниченный прямыми, параллельными осям координат:

P{x1 X x2; y1 Y y2} [F(x2 , y2 ) F(x1, y2 )] [F(x2 , y1) F(x1, y1)] .

Р а з д е л I

ДИСКРЕТНЫЕ ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Пусть случайные величины X и Y имеют законы распределения:

Закон распределения двумерной случайной величины (X, Y) имеет вид таблицы:

где x i , y j – значения, принимаемые случайными величинами X и Y. Вероятности pij , соответствующие принимаемым значениям, удов-

летворяют условию нормировки:

pij 1

i j

Из распределения двумерной случайной величины ( X ,Y )

58

Получаем функцию распределения:

Для зависимых случайных величин, образующих двумерную сис-

тему ( X ,Y ) можно найти условные законы распределения и соответ-

ствующие им условные математические ожидания.

Условным законом распределения одной из случайных величин,

входящих в систему двумерных случайных величин, называется закон ее распределения, найденный при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение: