Лекции ДиРУр

и введем замену переменных z y1 n . Подставив в уравнение (8) выраже-

С помощью формулы общего решения неоднородного линейного уравнения

(6) находим решение уравнения (9)

zCe(n 1) a(x)dx (1 n)e(n 1) a(x)dx f (x)e(1 n) a(x)dxdx

иобщее решение уравнения Бернулли (7)

21

4. Существование и единственность решения дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной

При решении многих практических задач, связанных с математическим моделированием на основе дифференциальных уравнений, важно знать, что у построенных дифференциальных уравнений решения существуют и эти решения являются единственными. Во многих случаях возникающие в практике дифференциальные уравнения не имеют решения в квадратурах, и поэтому эти уравнения решают приближенно на ЭВМ с помощью численных методов. Но, если нет уверенности в том, что решение существует и единственно, то нельзя гарантировать, что полученные результаты расчетов будут соответствовать уравнениям модели.

22

Ниже дана теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения вида

и удовлетворяет в G условию Липшица:

f (x,y1) f (x,y2) L y1 y2

для некоторой постоянной L 0, тогда существует единственное решение уравнения (11), удовлетворяющее начальному условию (12), на отрезке:

Аналогично можно доказать теорему существования и единственности для системы дифференциальных уравнений

Теорема 2. Пусть правые части системы уравнений (13) в области G, определяемой неравенствами:

x0 a x x0 a, yi0 bi yi yi0 bi , i 1,2, ,n

удовлетворяют условиям:

1)функции fi (x,y1, ,yn) i 1,2, ,n непрерывны, а следовательно, огра-

ничены fi K;

23

2) функции fi (x,y1, ,yn) i 1,2, ,n удовлетворяют условию Липшица:

n

fi(x,y1, ,yn) fi(x,z1, ,zn) L yi zi .

i 1

Тогда существует единственное решение системы дифференциальных уравнений (13), состоящее из непрерывных функций y1(x), ,yn(x),определен-

ных на отрезке

5. Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальное уравнение n- гопорядка есть уравнение вида

24

Общим решением дифференциального уравнения n- го порядка называет-

ся функция y (x,C1,C2, ,Cn), которая зависит от аргументов x и n неза-

висимых постоянных C1,C2, ,Cn , обращающая вместе со своими производ-

Частным решением дифференциального уравнения n- го порядка на-

зывается решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным C1,C2, ,Cn определенные числовые значения.

5.1. Интегрирование уравнения

Общее решение уравнения (3) получается путем последовательного интегрирования этого уравнения n раз. Действительно,

x

y(n 1) f (x)dx C1 ,

n

Cn 1(x x0) Cn . (4)

Итак, получено общее решение уравнения (2), удовлетворяющее

Если положить в формуле (4) значения констант Ci (i 1, ,n)равными ну-

лю, то получим частное решение при нулевых начальных данных в точке x x0

Можно показать, что для интеграла в формуле (5) справедливо представление (формула Коши)

Берем интеграл в (7) методом интегрирования по частям

Примем в (7) значения констант равные начальным значениям функции y и

ее производных: C3 y0 , C2 y0 , C1 y0 . С учетом (8) окончательно получа-

ем

5.2. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется урав-

нение линейное относительно неизвестной функции и ее производных, т.е. уравнение вида

Линейным однородным уравнением n-го порядка называется уравнение

Будем предполагать, что решение уравнения (10) ищется на некотором от-

ный оператор, тогда уравнение (11) можно записать в виде L[y] 0.

Свойства линейного оператора:

1) постоянный множитель выносится за знак оператора L:

L[cy] cL[y];

2)применение оператора L к сумме двух функций равно сумме результатов применения этого оператора к каждой функции в отдельности:

L[y1 y2] L[y1] L[y2] .

Из свойств 1), 2) оператора Lследует

28

Тождество (12) позволяет доказать следующее утверждение: линейная

n

комбинация с произвольными постоянными коэффициентами ci yi реше-

i 1

ний y1,y2, ,yn линейного однородного уравнения L[y] 0 является реше-

нием этого уравнения.

Функции y1(x),y2(x), ,yn(x)называются линейно зависимыми на некотором отрезке a x b, если существуют постоянные величины 1, 2, n , не все равные нулю, такие, что для любого x [a,b] выполняется равенство

1y1(x) 2 y2(x) n yn(x) 0.

тождественно равен нулю.

определитель Вронского W[y1,y2, ,yn ] не может обратиться в нуль ни в одной точке отрезка [a,b].

Фундаментальной системой решений линейного однородного дифферен-

циального уравнения n-го порядка называются любые n линейно незави-

29

симых решений этого уравнения. Фундаментальную систему можно постро-

yi(k)(x0) линейно независимы, т.к. определитель Вронского в точке x0 не ра-

вен нулю. Следовательно, эти решения образуют фундаментальную систему.

Теорема 4. Если линейное однородное дифференциальное уравнение

y(n) p1(x)y(n 1) pn(x)y 0

с действительными коэффициентами pi(x) имеет комплексное решение y(x) u(x) iv(x), то действительная часть этого решения u(x) и его мнимая часть v(x) являются решениями этого уравнения.

Теорема 5. Общим решением на отрезке [a,b] линейного однородного уравнения

y(n) p1(x)y(n 1) pn(x)y 0

с непрерывными на [a,b] коэффициентами pi(x) (i 1, ,n) является ли-

нейная комбинация y n ci yi n линейно независимых на отрезке [a,b]

i 1

частных решений с произвольными постоянными коэффициентами.

Следствие. Максимальное число линейно независимых решений однородного линейного дифференциального уравнения равно его порядку.

30