НГТУтв3

Колмогоровские аксиомы теории вероятностей

Алгебра и σ – алгебра событий

Идея: в качестве событий должны рассматриваться только такие подмножества множества Ω, операции над которыми приводят снова к событиям.

Определение. Алгеброй F называют непустой класс подмножеств множества Ω, которые удовлетворяют следующим условиям:

1)Ω F ;

2)из того, что A F следует, что A F

3) из условия, что A1 F, ..., An F следует, что

A1 ... An F .

Определение. σ -алгеброй F называют непустой класс подмножеств множества Ω, которые удовлетворяют следующим условиям:

1)Ω F ;

2)из того, что A F следует, что A F

Вероятностное пространство

Назовем вероятностным пространством тройку

< Ω, S, P >, где Ω - множество элементарных событий, S - σ -алгебра событий над Ω,

P - функция, которая каждому событию A S сопоставляет число, называемое вероятностью этого события.

Аксиомы вероятности:

1.0 ≤ P( A);

2.P(Ω) =1;

3. Если A1, A2 ,... попарно несовместны ( Ai Aj = (i ≠ j)),

Свойства вероятности

1.Вероятность невозможного события равна 0, т.е. P ( ) = 0.

2.Аддитивность вероятности: для всякого конечного набора попарно несовместных событий A1, A2 ,..., An

P( n Ai ) = ∑n P( Ai ).

i=1 i=1

3. Вероятности случайного события A и A в сумме составляют единицу, т.е. P (A)+ P (A) =1.

4. Правило сложения вероятностей. Для произвольных событий А и В

P (A B) = P (A)+ P (B)− P (AB).

AB

А

В

Условная вероятность

Определение. Условной вероятностью события А, вычисленной в предположении, что произошло событие В, называется величина

Р(А| В) =

Обоснование формулы с помощью геометрической

То есть получили отношение площадей; роль пространства Ω выполняет B.

АВ

А

В

Из формулы условной вероятности можно сформулировать правило умножения

вероятностей:

P (AB) = P (A)P (B | A) = P (B)P (A | B).

Замечание. Условная вероятность P( A | B) не имеет смысла, если P(B) = 0.

Событие А называют независимым от события В, если появление события В не изменяет вероятности появления события А, т.е. если условная вероятность P (A / B) равна вероятности P (A):

P (A | B) = P (A).

Для независимых событий правило умножения вероятностей имеет вид:

P (AB) = P(A)P(B).

Свойства независимых событий.

1. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А, т.е.

P (B | A) = P (B).

Доказательство. P (B | A) = P (BA) = P (B)P( A) = P(B).

P( A) P( A)

2.Если события А и В независимы, то независимы также события A и B , A и B, A и B.

Докажем независимость A и B :

А В

P( AB) = P( A \ AB) = P( A) − P( AB)=P( A) − P( A)P(B)

= P( A)(1 − P(B)) = P( A)P(B).

Остальные случаи рассматриваются аналогично.