сборник задач по дискретке другой вариант

1.СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

1.Записать в десятичной системе счисления числа, записанные в современной Римской системе: IV, VIII, XIX, XL, MCMLXXXIX, XCIV, CMMLXXXIX.

2.Записать в современной Римской системе счисления числа: 24, 46, 98, 176, 1963, 1998.

3.Записать в d-ичной системе числа d 2 , d 3 , …

4.В турнире участвовали 13 мальчиков и 54 девочки, а всего 100 человек. В какой системе счисления сделаны эти записи?

5.В какой системе счисления

2·2=10, 4·4=31, 3·3=10?

6.Как изменится число 325006 если а) приписать справа один нуль; б) приписать справа три нуля; в) отбросить справа два нуля?

7.В какой системе счисления верно:

а) 212d=2310, б) 53d=3310

9.Какое самое большое 5-значное число в 3-ичной, 8-ричной системах?

10.Записать в десятичной системе счисления числа:

1324, 10023, 7778, 31758, 21214, 55417.

11. Записать числа 49, 57, 101, 196 а) в 3-ичной системе счисления; б) в 5-ричной системе счисления; в) в 7-ричной системе счисления.

2

12. Заполнить таблицу: первый столбец – числа от 0 до 15, второй столбец – соответствующие двоичные числа, третий столбец – соответствующие 16-ичные числа, четвертый столбец – соответствующие 4-ичные числа.

13.Перевести числа

1100010112, 10101001002, 1100000102, 100110012.

а) в 4-ичную систему счисления; б) в 8-ричную систему счисления; в) в 16-ричную систему счисления.

14. Перевести числа 5218, 6158, 4038, 1258 в 2-ичную систему счисления.

15.Перевести числа A3516, D2716, F4916, E8B516, С60116

а) в 4-ичную систему счисления; б) в 2-ричную систему счисления; в) в 8-ричную систему счисления.

16.Сколько существует

a)5-значных чисел в d-ичной системе счисления;

b)n-значных чисел в d-ичной системе счисления?

17.*Доказать V и VI алгоритмы.

18.Вычислить:

1)101.11012 +11.10112 ,

2)11101.112 +10011.12 ,

3)101101.0112 +1111.1012 ,

4)11.12 ×10.12 ,

5)1001.112 ×1.112 ,

6)0.10112 ×1.12 .

3

6. Какой знак из множества {=, ¹, É, Ì} можно поставить вместо символа «?», чтобы полученное утверждение было верным.

7.Какие из утверждений верны для всех A , B и C ?

1)Если AÎ B и B ÎC , то AÎC ,

2)Если A Ì B и B ÎC , то AÎC ,

3)Если A I B C и A UC B , то A IC = ,

4)Если A ¹ B и B ¹ C , то A ¹ C ,

5)Если A (B UC) и B (A UC), то B = Æ .

10.Дано произвольное множество A . Найти множества

A I A, A U A, A \ A.

11.Существуют ли такие множества A , B и C , что

A I B ¹ Æ , A IC = Æ , (AI B) \ C = Æ?

12. Доказать, что:

A B A U B = B A I B = A A \ B = A U B = U.

13. Опишите множества, соответствующие закрашенной части

5

14. Доказать, что

34) ( A I B) U(C I D) = (A UC) I(B UC) I( A U D) I(B U D).

6

16.Доказать, что:

1)UAi есть наименьшее множество, содержащее все множества Ai ;

i I

2) IAi есть наибольшее множество, содержащееся во всех мно-

i I

жествах Ai .

17.Найти булеаны множеств {x}, {1,2}, {1,2,3} , , {Æ} , { ,{ }}.

18.Доказать, что:

1)P( AI B) = P(A)IP(B),

2) P(A U B) = {A1 U B1 A1 P(A) и B1 P(B)},

20. Пусть A – множество точек отрезка [0,1]; B – множество точек отрезка [2,3]; C = {4,5,6}; D – множество точек квадрата с вершинами в точках (0,0), (0,1), (1,0), (1,1). Найти геометрическую интерпрета-

7

A , B , C , D включение можно заменить равенством?

23.Доказать, что для произвольных множеств A , B , C , D

1)( A U B)´C = ( A´C) U(B ´C) ,

2)( A \ B)´C = ( A´C) \ (B ´C),

3)A´(B \ C) = ( A´ B) \ ( A´C),

4)( A I B)´(C I D) = ( A´C) I(B ´ D) ,

5)A´ B = ( A´ D) I(C ´ B), где A Ì C и B D.

24.Пусть A ¹ Æ, B ¹ Æ и ( A´ B) U(B´ A) = C ´ D. Доказать, что в этом случае A = B = C = D .

25.Задать отношение P перечислением его элементов или матрицей отношения, если P Ì A2 , A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

1)P = {(x, y) (x +1) делитель (x + y)};

2)P = {(x, y) x ¹ 1 и x делитель (x + y)}.

P Ì (P(A))2 , A = {a,b,c}.

8

28. Определить отношения:

1) P o S , 2) S oT , 3) S−1 o S 4) S o S −1 , 5) (P oS )−1 , 6) S −1 o P−1 , 7) P−1 o S −1 , 8) (P oS ) oT , 9) P o(S oT ),

если T = {(11, ),(10,W),(13,*),(12,W),(13,d)} ,

P= {(1,7),(4,6),(5,6),(2,8)} , S = {(6,10),(6,11),(7,10),(8,13)}.

29.Найти P oS, (P oS )−1 , если:

1) X – множество точек плоскости, Y – множество окружностей, Z – множество треугольников?

2) X – множество преподавателей института, Y – множество читаемых дисциплин, Z – множество академических групп,

P ={(x, y) x X , y Y и преподаватель x ведет занятия по дисциплине y};

S ={(x, y) x Y, y Z и студенты группы y изучают дисциплину x}, 3) X – множество мужчин, Y – множество людей, Z – множе-

ство женщин, P = {(x, y) x X , y Y и x отец y},

S= {(x, y) x Y, y Z и x родитель y}.

30.Пусть отношения P и S определены на множестве людей следующим образом: P = {(x, y) x дочь y}, S = {(x, y) x отец y}. Опре-

делить следующие отношения:

1) P2 , 2) S 2 , 3) P o S 4) S o P , 5) S−1 o S −1 , 6) P−1 o P−1 , 7) S o P−1 , 8) P−1 o S , 9) P−1 o S −1 , 10) S −1 o P .

9

33. Пусть P = {(x, y) x, y ¥ и x делит y}. Найти δP , ρP , P−1 ,

P−1 o P , P o P−1 , P oP , P( A), P−1 (B), если

10