Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

сборник задач по дискретке другой вариант

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

584 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

36. Доказать, что если P1 P2 , то
1) Q oP1 Q oP2 ,					2) P1 oQ P2 oQ ,	3) P−1	Ì P−1.
						1	2
37. Доказать, что для любых бинарных отношений:
1) (P1 I P2 )−1 = P1−1 I P2−1 ,					5) P1 o(P2 U P3 ) = (P1 o P2 )U(P1 oP3 ),
		= (		)−1 ,
2)	P−1				6) (P1 U P2 )o P3 = (P1 o P3 )U(P2 o P3 ),
			P

3) P1 o(P2 o P3 ) = (P1 o P2 )o P3 , 7) P1 o(P2 I P3 ) (P1 o P2 )I(P1 o P3 ),
4) (P1 o P2 )−1 = P2−1 oP1−1 ,	8) (P1 I P2 )o P3 (P1 o P3 )I(P2 o P3 ).

38. Определить, какими свойствами обладает отношение P Ì A2 . Является ли оно отношением строгого порядка, нестрогого порядка, эквивалентности?

1) A – множество геометрических фигур,

а) P = {(x, y) фигура x конгруэнтна фигуре y},

б) P = {(x, y) фигура x имеет площадь меньше, чем фигура y};

2)	A – множество прямых,
	а) P = {(x, y)	x параллельна y},

	б) P = {(x, y)	x перпендикулярна y},

	в) P = {(x, y)	x и y пересекаются};

3)	A – множество точек действительной плоскости ¡2 ,
	а) P = {(x, y)	x и y равноудалены от начала координат},

б) P = {(x, y) x и y находятся на разном расстоянии от начала координат},

в) P = {(x, y) x и y равноудалены от оси ординат}; 4) A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,

а) P = {( в) P = {( г) P = {(

x, y)		x - y четно}, б)		P = {(x, y)			x + y четно},
x, y)		x - y четно}, б)		P = {(x, y)			x + y четно},
x, y)				}	,
x, y)		(x +1) делитель (x + y)			,
					}
x, y	)	x ¹ 1 и x делитель	(	x + y	)	;
	)		(		)

A = ¥

а) P = {(x, y)

x + y четно},

д) P = {(x, y)

xy M2},

б) P = {(x, y)

x + y нечетно},

е) P = {(x, y)

(x + y) M7},

в) P = {(x, y)

x кратно y},

ж) P = {(x, y)

x - y

M7};

г) P = {(x, y)

НОД(x, y) ¹1};

A = P(M ), M = {a,b,c},

а) P = {(X ,Y )

X Ì Y, X ¹ Y},

в) P = {(X ,Y )

X IY ¹ Æ},

б) P = {(X ,Y )

X Ì Y},

г) P = {(X ,Y )

X =

};

A – множество людей,

а) P = {(x, y)

x моложе y},

г) P = {(x, y)

x сестра y},

б) P = {(x, y)

x похож на y},

д) P = {(x, y)

x отец y},

в) P = {(x, y)

x знаком с y};

е) P = {(x, y)

x начальник y};

ж) P = {(x, y)

x состоит в браке с y},

з) P = {(x, y)

x живет в одном городе с y};

A = ¡

а) P = {(x, y)

x < y},

е) P = {(x, y)

x2 + y2 = 4},

б) P = {(x, y)

x ³ y},

ж) P = {(x, y)

x2 + y2 < 4},

в) P = {(x, y)

з) P = {(x, y)

x2 - y2 = 0},

г) P = {(x, y)

x = y},

и) P = {(x, y)

x - y

M5};

д) P = {(x, y)

x +1 = y},

к) P = {(x, y)

x + yM7}.

A = ¢2 ,

а) P = {((x, y),(u,v))

xv = yu},

б) P = {((x, y),(u,v))

x + u = y + v};

в) P = {((x, y),(u,v))

x + v = y + u}?

39. Какими свойствами обладают следующие отношения?

P1	a b c			P2	a b c			P3	a b c			P4	a b c
P1	a b c			P2	a b c			P3	a b c			P4	a b c
a	0	1	0	a	1	0	1	a	1	0	1	a	1	0	1
b	1	0	1	b	0	0	0	b	0	1	0	b	0	1	0
c	0	1	0	c	1	0	1	c	1	0	1	c	1	0	0

40. Построить отношения S1 oS2 ,											S2 oS1, P1 oP2 ,						P2 oP1. Определить
свойства исходных и полученных отношений.
	S1	a b c d				S2	a b c d					P1	a b c d					P2	a b c d
	S1	a b c d				S2	a b c d					P1	a b c d					P2	a b c d
	a	0	1	0	0	a	1	0	1	0		a	1	0	1	1		a	0	1	0	1
	b	0	1	0	1	b	0	1	0	1		b	0	0	1	0		b	1	0	1	0
	c	1	1	0	0	c	0	0	1	0		c	0	0	1	1		c	1	1	0	1
	d	0	1	0	1	d	0	1	0	1		d	1	0	1	0		d	1	0	1	0

41. Пусть X = {1,2,3,4,5},

P = {(1,1),(1,2),(2,3),(2,4),(3,5),(5,4),(3,2)}.

Определить следующие множества:

1)наименьшее рефлексивное отношение на множестве X ;

2)наименьшее симметричное отношение на X , содержащее P ;

3)наименьшее симметричное и рефлексивное отношение на X , содержащее P ;

4)наибольшее симметричное отношение на X , содержащееся в P ;

5)наименьшее транзитивное отношение на X , содержащее P .

42.Доказать, что если отношения P и S рефлексивны, то ре-


флексивны и отношения: 1) P U S ,		2) P I S ,			3) P−1 ,	4) P o S .
43.	Доказать, что если отношение P и S			иррефлексивны, то ир-
рефлексивны и отношения: 1) P U S ,			2) P I S ,		3) P−1 .
44.	Доказать, что если отношения P и S			симметричны, то сим-
метричны и отношения: 1) P U S ,		2)	P I S ,	3) P−1 ,		4) P o P−1 .

45.Доказать, что если отношения P и S антисимметричны, то антисимметричны и отношения: P I S , P−1 .

46.Доказать, что если отношения P и S транзитивны, то отношение P I S транзитивно.

47. Постройте бинарное отношение, обладающее следующими свойствами, или докажите, что такого не существует:

			Свойства

№	рефлек-	иррефлек-	симметрич-	антисим-	транзитив-
№	сивность	сивность	ность	метричность	ность
	сивность	сивность	ность	метричность	ность
1	+	–	–	–	–
2	–	+	–	–	–
3	–	–	–	–	–
4	+	–	–	–	+
5	–	+	–	–	+
6	–	–	–	–	+
7	+	–	+	–	–
8	–	+	+	–	–
9	–	–	+	–	–
10	+	–	+	–	+
11	–	+	+	–	+
12	–	–	+	–	+
13	+	–	–	+	–
14	–	+	–	+	–
15	–	–	–	+	–
16	+	–	–	+	+
17	–	+	–	+	+
18	–	–	–	+	+
19	+	–	+	+	–
20	–	+	+	+	–
21	–	–	+	+	–
22	+	–	+	+	+
23	–	+	+	+	+
24	–	–	+	+	+

Например, в первом варианте требуется построить рефлексивное, но не иррефлексивное, не симметричное, не антисимметричное, не транзитивное бинарное отношение.

48. Построить все классы эквивалентности по отношению P A2 , если:

1) A = {1,2,3} ,

а)	P =	{	(	)			(	2,2			)		,	(		3,3		)}			,
а)	P =	{	1,1 ,				(	2,2			)		,			3,3		)			,		)				(						)				(						)				(				)		(					)			(	)}
б)	P =	{	(	)			(	2,2			)		(					)	,		(		)				(			3,3			)		,		(			2,3			)		,		(		3,2		)		(					)		,	(	)}		;
б)	P =		1,1 ,					2,2					, 1,2						,			2,1 ,								3,3					,					2,3					,				3,2				, 1,3							,		3,1		;
	{													}
2) A = 1,2,3,4,5,6,7,8																	)		(				)			(						)				(						)					(				)			(					)				ï
ï		(		)	(		2,2		)		,		(		3,3		)	,	(		4,4		)		,	(			5,5			)			,	(			6,6			)			,		(		7,7		)		,	(		8,8			)	,			ï
ì		1,1 ,					2,2				,				3,3			,			4,4				,				5,5						,				6,6						,				7,7				,			8,8				,			ü
а) P = í																																																															ý,
ï(1,3)		,(3,6),(4,7),(5,8),(1,6),(6,1),(8,5),(7,4),(6,3),(3,1)ï
î		(		)		(				)				(				)		(				)				(						)				(						)				(				)			(					)			þ
ï		(		)		(		2,2		)		,		(		3,3		)	,	(		4,4		)		,		(			5,5			)		,		(			6,6			)		,		(		7,7		)		,	(		8,8			)	,			ï
ì			1,1 ,					2,2				,				3,3			,			4,4				,					5,5					,					6,6					,				7,7				,			8,8				,			ü	;
б) P = í				2,3),(2,5),(3,5)																																																												ý	;
ï(1,7),(				2,3),(2,5),(3,5)																,(4,8),(8,4),(5,3),(5,2),(3,2),(7,1)ï
î																																																																þ

3)A = {-2,-1,4,5,6} , P = {(x, y) xy > 0};

4)A = ¥;

а) P = {(x, y)	x + y > 0},

б) P = {(x, y)	x + y четное число},

в) P = {(x, y)	x − y	M5};

5)A = ¡ \{0} , P = {(x, y) xy > 0};

6)A – множество компьютерных программ, написанных в НГТУ,

P = {(x, y) x и y написаны на одном языке программирования}.

49. Пусть P = {(x, y) x, y [−2,4] и x2 = y2}. Доказать, что отно-

шение P являются отношением эквивалентности и определить следующие классы эквивалентности: [1], [2], [0], [3], [-1/ 2], [4].

50. Пусть A = {1,2,3,4,5,6,7} . Определить отношение эквивалент-


ности P , разбивающее множество A следующим образом:
1)	{{ }		{			}		{			}}	,			4)	{{		}	{			}}	,
1)	1,7 ,			3,4,6 ,					2,5			,			4)	1,2,3,4 ,				5,6,7			,
2)	{{						}}				,				5)	{{ }	,	{ }			{		}}	,
2)	1,2,3,4,5,6,7										,	{ }	{ }}		5)	1,4	,	3,5		,	{	6,2,7		,
3)	{{ }	{ }			,	{ }	{ }			,	{ }	{ }	{ }}	,	6)	{{ }	,	{ }			{	}	{ }}		.
3)	1 ,	2			,	3 ,	4			,	5 ,	6 ,	7	,	6)	1,7	,	3,5		,		2,4 ,	6		.

51. Среди указанных отношений и обратных к ним найти функциональные отношения.

1){(x, y)

2){(x, y)

3){(x, y)

4){(x, y)

5){(x, y)

6){(x, y)

7){(x, y)

8){(x, y)

9){(x, y)

10){(x, y)

11){(x, y)

12){(x, y)

13){(x, y)

14){(x, y)

x, y ¡ y = 5};					15) {(
x, y ¡ x = 7};					16) {(
x, y ¡ y = x2};					17)	{(
x, y ¡+		y = x2};			18)	{(
x, y ¡+		y = x2 + 4};			19) {(
x, y ¡+		y = x2 − 9};			20) {(
x, y ¡ y = x3};					21)	{(
x, y ¡ y = tg x} ;					22) {(
x, y ¡ y = ln x};
					23) {(
	x, y ¡+	y = ln x};
					24) {(

	x, y ¡	y = x2 };
					25) {(
	x, y ¡	y = x +	x	};
					26) {(

	x, y ¡	y2 = x2};
					27) {(
	x, y ¡	y = x[x]};
					28) {(

x, y) x, y) x, y) x, y) x, y) x, y)

x, y)

x, y) x, y) x, y) x, y) x, y) x, y)

x, y ¡ y = x(x−5)(x+5)}; x, y ¡ y2 + x2 = 4};

x ¡, y ¡+ y2 + x2 = 4}; x ¡+ , y ¡ y2 + x2 = 4}; x, y ¡+ y2 + x2 = 4} ;

x, y ¡ y = 4 − x2 };

x ¡, y ¡+ y = 4 − x2 }; x ¡+ , y ¡ y = 4 − x2 }; x, y ¡+ y = 4 − x2 };

x, y ¡ y2 + x2 ≤ 4};

x, y ¡ y = cos(arcsin x)};

x, y	[	]	}
x, y		0;1	y =cos(arcsin x) ;
x, y ¡ y = sin(arcsin x)};
x, y	[	]	}
x, y		0;1	y = sin(arcsin x) .

52. Для каждого функционального отношения из предыдущего задания

а) указать область определения и область значений; б) определить является ли функция инъекцией, сюръекцией,

биекцией; в) определить является ли функция всюду определенной или

частично определенной.

53. Найти образ и прообраз множества X относительно функции f (x) = x2 , если

1) X =

{

}

2) X =

(

4,9

]

;

3) X =

(

−4,9

]

4 ;

54.Найти образ множества (-4,4] относительно функции f (x) = x3 + 3x2 − 9x − 27 .

55.Найти прообраз множества (0;+¥] относительно функции f (x) = x3 + x2 − 6x .

56.Для функций f и g , заданных на множестве действительных чисел, найти f (g (x)) и g ( f (x)), если:

1)f (x) = x2 + 5, g (x) = x - 7;

2)f (x) = ln x , g (x) = x2 +1.

57.Пусть f – функция. При каких условиях отношение f −1 является функцией?

58.Пусть f : X → Y – функция. Доказать, что:

1)если A B X , то f ( A) Ì f (B);

2)если A B Y , то f −1 ( A) f −1 (B).

59. *Доказать, что для любой функции f и произвольных A и B :

1)	f ( A U B) = f ( A) U f (B),	4)	f −1 ( A U B) = f −1 ( A) U f −1 (B) ,
		5)	f −1 ( A I B) = f −1 ( A) I f −1 (B) ,
2)	f ( AI B) Ì f ( A) I f (B),
		6)	f −1 ( A \ B) = f −1 ( A) \ f −1 (B),
3)	f ( A) \ f (B) Ì f ( A \ B) ,
		7)	f −1 (		)		.
						f −1 (A)
				A

60. Привести пример функции f и множеств A и B таких, что

1)f (A I B) ¹ f ( A)I f (B),

2)f ( A) \ f (B) ¹ f ( A \ B).

61.*Привести примеры отношений P , для которых

1)P−1 (A I B) ¹ P−1 (A)I P−1 (B),

2)P−1 (A \ B) ¹ P−1 ( A) \ P−1 (B),

3)P−1 (A) P−1 ( A).

62. Пусть f : X → Y – функция. Доказать, что f инъективна тогда и только тогда, когда для всех подмножеств A и B множества

Xсправедливо тождество f ( A I B) = f ( A) I f (B).

63.Пусть X – конечное множество и f : X → X инъекция. Доказать,

что f биекция.

64.Пусть f : X → Y , g :Y → Z . Доказать, что

1) если	f	и g – сюръекции, то f o g – сюръекция;
2) если	f	и g – инъекции, то	f o g – инъекция;
3) если	f	и g – биекции, то	f o g – биекция;
4) если	f	и g – биекции, то ( f o g )−1 = g−1 o f −1.

65.Доказать, что:

1)всякое подмножество конечного множества конечно;

2)объединение конечного числа конечных множеств конечно;

3)прямое произведение конечного числа конечных множеств конечно.

66.Доказать, что:

1)	если A счетно, а B конечно, то A \ B счетно;
2)	если A счетно, а B конечно, то A U B счетно;
3)	если A и B счетны, то A U B счетно;
4)	если A и B счетны, то A× B счетно;

5)прямое произведение конечного числа счетных множеств

счетно.

6)если все Ai счетны, то UAi счетно.

i ¥

7) если все Ai конечны, не пусты и попарно не пересекаются, то

UAi счетно;

i ¥

67.Доказать, что:

1)множество целых чисел счетно;

2)множество рациональных чисел счетно;

3)множество алгебраических чисел счетно.

68.Доказать, что любое бесконечное подмножество счетного множества счетно.

69. Определить, являются ли бинарная операция ϕ коммутатив-

ной, идемпотентной, если:
1) a\b			1	2			2) a\b		1	2	3		3) a\b		1	2	3
	1		1	1				1	1	1	3			1	1	2	3
2			2	2		2			1	1	1		2		2	2	1
						3			2	2	3		3		3	1	3
70. Определить, какими свойствами обладают операции ϕ:
1)		a\b			0	1				2)	a\b	0	1
1)		a\b			0	1				2)	a\b	0	1
		0			1	1					0	0	1
		1			0	1					1	1	1

71.

é1

3ù

é1 2

3ù

Найти α oβ , если a = ê

b = ê

ú .

ë3 1

2û

ë1 3

2û

72.

Найти γ oα oβ и β o γ oα , если

a =

é1 2 3ù

g =

é1 2 3ù

ú ,

b = ê

ú .

ë2 3 2û

ë1 2 2û

2 3 1û

73.

Найти преобразование α , если

é1 2 3ù

, boa =

é1 2 3ù

1) b = ê

ú ; 2) b = ê

ú ,

a ob = ê

ú .

ë1 3 2û

ë1 1 2

ë3 2 1û

2 3 1û

74.

Найти α,

α oβ o γ , γ oβ oα , если

b =

é1 2 3ù

ú , g = ê

ú , boa og = ê

ú.

ë2 1 3û

ë2 3 1û

ë1 1 2û

75.

Определить,

какими

свойствами

обладает

операция

a j b = 3 ab2 , если:

1) j : ¡2 ® ¡ , 2) j:{0,1,-1}2 ®{0,1,-1} ,

3) j:{0,1}2 ®{0,1} .

76.

Определить,

какими

свойствами

обладает

операция

a j b = a + b , если

j : ¡2 ® ¡ .

77. Определить,

является ли операция g : ¡2

® ¡ дистрибутивной

относительно операции j : ¡2 ® ¡ , если

1) a γ b = ab + a , a j b = a + b , 2) a g b = aeb , a j b = a + b .

3.БУЛЕВА АЛГЕБРА

1.Для заданной функции построить таблицу истинности, найти СДНФ и СКНФ, используя эквивалентные преобразования получить тупиковую ДНФ.

1)(z Å yx) Û yz Ú z / x, 2) z / x Þ (xy Ú z (x Å yz)) Û xz ,

2.Из заданного множества элементарных конъюнкций K выделить простые импликанты функции f .

1)K = {x, z, xy, yz} , f (x, y, z) = (0010 1111) ;

2)K = {xy, yz, x, xyz} , f (x, y, z) = (01111110) ;

3)K = {x, p, yz, xyz} , f (x, y, z) = (1010 1110 01011110).

3.Перечислить существенные переменные следующих функций:

1)	f (x, y, z) = (x Þ (x Ú y)) Þ z ; 2) f (x, y, z) = (x Å y)(x ¯ y).
3)	f (x, y) = (x Ú y) Þ y ; 4) f (x, y, z, p) = (x Ú y Ú y z Ú x y z ) p ;

4. Доказать, что если среди переменных функции f (x1,..., xn ),

имеются фиктивные, то функция принимает значение 1 на четном числе наборов. Верно ли обратное утверждение?

5.Эквивалентны ли формулы:

1)((x Ú y)Ú z) Þ ((x Ú y)(x Ú z)) и x : z ;

2)(x Þ y) Þ z и x Þ ( y Þ z);

3)((x Å y) Þ (x Ú y))((x Þ y) Þ (x Å y)) и x | y ?

6.Минимизировать заданную функцию методом Квайна:

1)x y z x y z x y z ,

2)x y z x y z x y z x y z x y z x y z ,

3)x y z x y z x y z x y z x y z ,

4)x y z x y z x y z x y z ,

5)x y z p x y z p x y z p x y z p x y z p ,

6)x y z p x y z p x y z p x y z p x y z p x y z p x y z p .

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.03.2016715 Кб67Саттер Герб. Стандарты программирования на С++. 101 правило и рекомендация - royallib.ru.doc
#
20.04.20192 Мб60Сб_Задач.doc
#
01.03.2025276 Кб1сб. упр..doc
#
02.09.2019434 Кб5сбор того что было.doc
#
01.07.2025965 Кб4Сборник задач и упражнений по макроэкономике-2008-12-14.doc
#
27.03.2015584 Кб68сборник задач по дискретке другой вариант.pdf
#
27.03.20151 Мб367Сборник задач по дискретке.pdf
#
27.03.20154 Мб32Сборник задач по физике. Волькенштейн.pdf
#
27.03.20152 Мб16Сборник лаб. работ.pdf
#
01.04.202510 Мб5СБОРНИК ЛР ПО КУРСУ АГРЕГАТЫ И СИСТЕМЫ ЛА_РИО.doc
#
01.07.2025288 Кб1сборник экономико-юридических терминов позволяю...docx