Конспект по ТАУ

№ 35 Создание комбинированных САУ

Основным методом, используемым при создании инвариантных систем, является применение комбинированного управления, при котором управляющее воздействие реализуется не только по отклонению регулируемой величины, но и по возмущению, для этого измеряется основное возмущающее воздействием и сигнал через корректирующее звено вводится в САУ.

При этом реализуется принцип двухканальности и не возникает противоречия между устойчивостью и инвариантностью, как это имеет место в одноконтурных системах, реализующих условие инвариантности за счет повышения коэффициента усиления системы.

Условия реализации абсолютной инвариантности легко проследить на примерах (рисунок 8.4,8.5). Для системы (рисунок 8.4)

Введение дополнительных воздействий не изменяет характеристического уравнения замкнутой САУ, поскольку корректирующие звенья не входят в замкнутый контур прохождения сигнала. При этом не будет нарушаться не только устойчивость САУ, но и сохраняться оценки качества переходного процесса, базирующиеся на использовании корней характеристического уравнения.

В этом случае реализуется частичная инвариантность за счет замены идеальных дифференцирующих звеньев реальными.

Рисунок 8.4 - Реализация инвариантности по заданию САУ

Рисунок 8.5 - Реализация инвариантности по возмущению САУ

Можно реализовать инвариантность по нескольким возмущениям, но это практически сложно. Для САУ, описываемых дифференциальными уравнениями 1-го и 2-го порядка, когда необходимое

условие устойчивости (положительность коэффициентов характеристического уравнения) является и

этом САУ будет инвариантна и к возмущающему воздействию (рисунок 8.5).

36. Инвариантность по задающему воздействию

В настоящее время существует три направления создания инвариантных САУ:

1.Системы с одной регулируемой величиной, работающие по отклонению. В таких системах условие абсолютной инвариантности достигается при коэффициенте усиления разомкнутой САУ равном бесконечности.

2.Создание комбинированных систем.

3.Использование принципа двухканальности Б.Н. Петрова в многосвязных системах.

САУ называется инвариантной по отношению к задающему воздействию, если после завершения переходного процесса, определяемого начальными условиями, ее ошибка не зависит от этого воздействия.

САУ инвариантна к задающему воздействию, если ее передаточная функция по отношению к нему равна единице

W(p)=1.

37. Инвариантность по возмущающему воздействию

САУ называется инвариантной по отношению к возмущающему воздействию, если после завершения переходного процесса, определяемого начальными условиями, регулируемая величина и ошибка системы не зависят от этого воздействия.

САУ инвариантна к возмущающему воздействию, если ее передаточная функция по отношению к нему равна нулю W(p)=0.

Возмущающее воздействие – это такое воздействие, которое стремится нарушить требуемую функциональную связь между переменными, характеризующими ее состояние.

48. Постановка и классификация детерминированных задач оптимизации.

Задачи условной оптимизации, в которых функции f j x и k x являются линейными, носят название задач с линейными ограничениями. В таких задачах целевые функции могут быть либо линейными, либо нелинейными. Задачи с линейной целевой функцией F x и линейными ограничениями f j x и k x являются задачами линейного программирования (ЗЛП).

Если целевая функция F x - квадратичная функция, а ограничения f j x и k x - линейные функции, то задача (1)-(4) является задачей квадратичного программирования. В тех случаях, когда критерий оптимальности F x или ограничения f j x и k x представляют собой нелинейные функции переменных x , задача (1)-(4) является задачей нелинейного программирования.

49. Многокритериальные задачи оптимизации.

В практике часто возникает необходимость найти решение, которое бы являлось наилучшим с позиций

Первый подход — выбор основного критерия. Один из путей учёта совокупности противоречивых критериев состоит в том, что какой либо из критериев выбирается в качестве основного, а остальные критерии считаются вспомогательными. Оптимизацию осуществляют по основному (одному) критерию, а на все остальные критерии накладывают ограничения.

Второй подход — ранжирование критериев. Пусть критерии ранжированы и номер критерия обозначает номер

x D

Третий подход — формирование обобщённого критерия. Идея этого метода проста: построить обобщённый скалярный критерий

как функцию исходных критериев. Пусть минимизируются все частные критерии, чего легко добиться, умножив максимизируемые критерии на -1. При этом минимум обобщённого критерия (24) должен соответствовать

50. Одномерная оптимизация.

4.1. Метод равномерного поиска Пусть априорная информация об унимодальности функции крайне недостаточна, чтобы строить разумный

процесс поиска экстремума. Наиболее приемлемым способом поведения в такой обстановке является последовательное вычисление целевой функции I(y) при всех допустимых значениях варьируемого параметра y

a y b ,

где a, b - границы интервалов поиска.

Пусть заданная величина погрешность определения оптимального параметра y*. Тогда для реализации алгоритма поиска следует определить значение I(y) в

точках, равномерно отстоящих друг от друга на расстоянии h= , т. е. в точках y j a ( j 1) h, j 1,N 1.

Из полученных значений показателя качества I(yj) выбирается наибольшее значение (глобальный максимум). Такой способ поиска называется сканированием. При малой заданной погрешности этот метод требует слишком большое число вычислений функции I(y) и больших затрат машинного времени.

4.2. Метод поразрядного приближения Этот метод применим для поиска оптимума унимодальной функции и обладает более высоким быстродействием.

Это достигается тем, что используется алгоритм с переменным шагом поиска. Вначале величина шага выбирается достаточно большой, значительно превышающей требуемую погрешность определения положения оптимума, и выполняется грубый поиск. В районе оптимума поиск производится с меньшим шагом.

Задается начальное значение параметра y0 = a и вычисляется I0=I(y0). Задаются начальный шаг поиска h и кратность k уменьшения шага в районе оптимума. Производится поиск максимума I(y) из начальной точки y = y0

по алгоритму

y(j+1)=y(j)+h(j+1);

где j - номер шага.

По этому алгоритму поиск из начальной точки y = y0 осуществляется с постоянным шагом h. После каждого шага вычисляется значение критерия I(y), оно сравнивается с предыдущим значением и в случае улучшения критерия шаги продолжаются до тех пор, пока очередной шаг не окажется неудачным. После этого поиск максимума продолжается из последней точки в обратном направлении с шагом в k раз меньше прежнего. Эта процедура поиска продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие

h ,

где - заданная погрешность определения оптимума. 4.3. Метод дихотомии

Этот метод отыскания экстремума применим для класса унимодальных функций. Идея метода проста - делить интервал [a, b], где расположен оптимум I(y), пополам

y0 = (a + b)/2

и отбрасывать часть, где оптимума заведомо быть не может. С этой целью достаточно вычислить показатель качества I(y) в точках y0 d, отстоящих друг от друга на расстояние 2d < , где - заданная погрешность определения оптимума. По двум вычисленным значениям I(y0 - d) и I(y0 + d), в силу унимодальности функции I(y), легко установить новый интервал неопределенности по следующим условиям (при поиске максимума):

Таким образом, в результате двух вычислений I(y) промежуток, где содержится оптимум, сокращается почти вдвое. Следующая пара измерений проводится в районе середины нового интервала неопределенности [a, y0 + d] или [y0 - d, b] в зависимости от того, какое из условий (26) выполняется.

Аналогично производятся последующие шаги поиска до тех пор, пока на k-ом шаге после 2k измерений I(y) длина интервала неопределенности lk = (b-a)/2k, где находится оптимум, не станет меньше или равен , т. е. lk. 4.4. Метод золотого сечения

В геометрии золотым сечением называется такое деление отрезка на две неравные части, при котором отношение всего отрезка к большей части равнялось отношению большей части к меньшей.

51. Многомерная оптимизация.

Метод наискорейшего спуска представляет собой модификацию градиентного метода и заключается в

Вектор градиента по направлению совпадает с направлением наискорейшего возрастания целевой функции F x . Следовательно, целевая функция в направлении, обратном направлению градиента, т.е. в направлении

антиградиента, убывает наиболее быстро. После того, как в начальной точке найдем градиент оптимизируемой функции и таким образом определим направление её наибыстрейшего убывания, в данном направлении делается

шаг спуска. Если значение функции F x в результате этого шага уменьшилось, производится очередной шаг в

этом же направлении. Аналогичным образом шаги продолжаются до тех пор, пока не будет найден минимум в этом направлении. В новой точке, где достигнут частный минимум в текущем направлении, вновь определяются

частные производные F / xi и новое направление наибыстрейшего убывания F x . Теперь поиск

осуществляется в новом направлении путем анализа величины F x после каждого шага и т.д.

При достаточно большой величине шага в районе оптимума поиск может зациклиться. В этом случае следует

последовательно уменьшить величину h при поиске в районе оптимума.

При использовании рассматриваемого метода можно обнаружить только локальный минимум. Каждый локальный минимум целевой функции можно охарактеризовать некоторой областью притяжения, обладающей тем свойством, что при задании начального состояния в границах этой области метод наискорейшего спуска всегда приводит в один и тот же локальный минимум. Поэтому для поиска других локальных минимумов и выбора среди них глобального необходимо производить поиск из других начальных точек.

52. Линейное программирование.

Линейное программирование представляет собой математический аппарат, разработанный для решения оптимальных задач с линейными выражениями для критерия оптимальности и линейными ограничениями на область изменения переменных. Такие задачи обычно встречаются при решении вопросов оптимального планирования производства с ограниченным количеством ресурсов, при определении оптимального плана перевозок (транспортные задачи) и т.д.

Для решения большого круга задач линейного программирования имеется практически универсальный алгоритм - симплексный, метод, позволяющий за конечное число итераций находить оптимальное решение подавляющего большинства задач. Тип используемых ограничений (равенства или неравенства) не сказывается на возможности применения указанного алгоритма. Дополнительной проверки на оптимальность для получаемых решений не требуется. Как правило, практические задачи линейного программирования отличаются весьма значительным числом независимых переменных. Поэтому для их решения обычно используют вычислительные машины, необходимая мощность которых определяется размерностью решаемой задачи.