lab1

Министерство образования и науки РФ

Федеральное агентство по образованию

Новосибирский государственный технический университет

Кафедра Автоматики

Лабораторная работа №1

Стабилизация двухмассовой системы: модальный метод синтеза в пространстве состояний с наблюдателем полного порядка

Факультет: АВТ

Группа: ААМ-12

Студенты: Белых Д. Преподаватель:

Воевода А.А.

Новосибирск, 2013

Цель работы

Рассчитать наблюдатель полного порядка и регулятор (используя модальный метод синтеза в пространстве состояний с использованием пропорциональной матрицы в канале обратной связи). Объектом управления является двухмассовая система, в которой два управляющих сигнала, силы и , приложены к массам и , подвешенных последовательно на двух пружинах жесткости k₁ и k₂, а регулируемые величины – положение грузиков и .

Таблица 1. Исходные данные

		k1	k2
1	1	6	2

Выполнение работы

1. Описание модели

В предположении отсутствия демпфирования модель объекта «вход - выход» следующая:

Перейдём к описанию в пространстве состояний. Запишем наблюдаемую каноническую форму:

(1)

С учётом исходных данных уравнение (1) примет вид:, , .

Рис. 1. Модель исследуемой двух массовой системы (представлена в наблюдаемой канонической форме)

Рис. 2. Переходные процессы y(t) при U₁=U₂=1

Процессы на выходах y₁ и y₂ имеют вид незатухающих колебаний ( см. рис.2 ).

2. Расчёт наблюдателя полного порядка

Так как вектор состояния не доступен, то в систему вводится наблюдатель.

Запишем уравнения (1) в матричном виде:

, .

Здесь

, , .

Матрица состоит из четырех матриц размером 2×2: диагональные матрицы описывают собственные свойства первого и второго каналов: Собственные свойства канала «первый вход – первый выход» определяются коэффициентами второго столбца матрицы : , что соответствует коэффициентам характеристического полинома . Собственные свойства канала «второй вход – второй выход» определяются коэффициентами второго столбца матрицы : , что соответствует коэффициентам характеристического полинома . Зададим собственные свойства каналов полиномом , то есть полюса заданы равными -10. Заданием таких полюсов обеспечим время переходного процесса наблюдателя по крайней мере в десять раз меньше по сравнению с переходными процессами в системе.

Динамические свойства наблюдателя описываются уравнением , где - ошибка оценки вектора состояния. Матрицу вычислим из условий, во-первых, устойчивости наблюдателя, достаточно малого времени устранения ошибки наблюдения и, наконец, автономности каналов наблюдателя. Для этого необходимо скомпенсировать элементы матрицы . Таким образом матрицу находим из условия

.

Элементы матрицы обозначим через и вычислим :

,

Матрица L_н имеет вид:

Рис. 3. Модель исследуемой двух массовой системы с наблюдателем(модели представлены в наблюдаемой канонической форме)

Рис. 4. Переходные процессы y₁(t) и y_1н(t) при U₁=U₂=1

Рис. 5. Переходные процессы y₂(t) и y_2н(t) при U₁=U₂=1

3. Расчёт регулятора

Запишем управляемую каноническую форму:

(2)

В матричном виде уравнения (2) запишутся так:

,

Найдем матрицы , соответствующие управляемой канонической форме:

, ,

При введении матрицы K в обратную связь получим:

, .

Необходимо скомпенсировать элементы матрицы для устранения перекрестных связей. Собственные свойства канала «первый вход – первый выход» определяются коэффициентами второй строки матрицы : {-8 0}, что соответствует коэффициентам характеристического полинома . Собственные свойства канала «второй вход – второй выход» определяются коэффициентами второй строки матрицы : {-2 0}, что соответствует коэффициентам характеристического полинома . Зададим собственные свойства для канала y₁ полиномом , что соответствует полюсам -3, -3. Для канала y₂ полиномом , что соответствует полюсам -0.5, -0.5.

Таким образом, матрицу находим из условия:

.

Матрица неизвестная – элементы ее обозначим :

.

Вычислим :

Матрица имеет вид:

Матрицы A, B, и C объекта и наблюдателя записаны в наблюдаемой форме, а матрица – в управляемой. Следовательно, необходимо перевести матрицу обратной связи также в наблюдаемую форму. Для этого воспользуемся матрицей перехода Т:

Модель системы с наблюдателем полного порядка и регулятором представлена на рис.6. Результаты моделирования для первого и второго канала при U₁=3 и U₂=2 представлены на рис 7,8 соответственно.

Рис. 6. Модель системы с наблюдателем полного порядка и регулятором

Рис. 7. Переходные процессы y₁(t),u(t),e₁(t) в системе с наблюдателем и регулятором

Рис. 8. Переходные процессы y₂(t),u(t),e₂(t) в системе с наблюдателем и регулятором

t_п1– время переходного процесса в первом канале 1.45 с;

– статическая ошибка первого канала = 87%;

t_п2– время переходного процесса во втором канале ≈ 9.5 с;

– статическая ошибка второго канала = 300%;

Вывод

В ходе лабораторной работы для двухканального объекта управления был рассчитан наблюдатель полного порядка (процессы в наблюдателе повторяют процессы в объекте). Используя модальный метод в пространстве состояний с использованием пропорциональной матрицы в канале обратной связи был синтезирован регулятор. Рассчитанный регулятор не обеспечил статику и заданную динамику, но стабилизировать систему удалось.