
RGZ_3
.docxМинистерство образования и науки РФ
Новосибирский государственный технический университет
Кафедра ТОЭ
Задание №3
Переходные процессы в цепях с сосредоточенными параметрами
Факультет ФТФ
Группа ФЛ-31 Отметка о защите__________
Студент Гущин А.С. Преподаватель Давыденко О.Б.
Дата выполнения_______
Новосибирск 2014
Задание:
Найти
переходный ток на входе цепи второго
порядка, изображенной на схеме, и
построить график его изменения в функции
времени. ЭДС источника задана в виде
Примечание:
Принужденную составляющую тока рекомендуется найти методом комплексных амплитуд (т.е. символическим методом), а свободную – операторным.
Если наибольшее значение свободной составляющей окажется несоизмеримо малым по сравнению с амплитудой принужденной составляющей, то допускается раздельное построение этих составляющих на чертеже в разных масштабах (без суммирования).
Исходные данные:
n=1 - порядковый номер в группе;
k=1 - номер группы (без первой цифры);
ENT(x) - целая часть числа x;
-
номер схемы;
-
номер строки параметров;
Параметры:
-
Расчет принужденной составляющей.
В соответствии с рекомендациями расчет принужденной составляющей входного тока будем осуществлять методом комплексных амплитуд.
Комплексная
схема замещения для момента времени
будет иметь вид:
Принуждённую составляющую входного тока можно определить следующим образом:
По правилу делителя токов:
Тогда
ток
найдём по 1-му закону Кирхгофа:
Напряжение на конденсаторe
Мгновенные значения токов:
Мгновенное значение напряжения на конденсаторе:
-
Расчёт режима работы цепи до коммутации.
Комплексная
схема замещения для момента времени
будет иметь вид:
Напряжение на конденсаторе:
Mгновенные значения:
-
Определение независимых начальных условий.
В
соответствии с 1-ым законом коммутации
ток через индуктивный элемент L
непосредственно до коммутации
равен току через этот же индуктивный
элемент непосредственно после коммутации
.
Из
этого следует:
В
соответствии со 2-ым законом коммутации
напряжение на конденсаторе C
непосредственно до коммутации
равно напряжению на этом же конденсаторе
непосредственно после коммутации
.
Из этого
следует:
-
Определение свободных составляющих независимых начальных условий.
Напряжение
на конденсаторе в любой момент времени
переходного процесса представляет
собой сумму принужденной и свободной
составляющих. В частности в момент
времени
:
:
Аналогично для тока через индуктивный элемент:
Значение
свободной составляющей тока в момент
времени
равно:
-
Определение свободных составляющих операторным методом.
Для
определения свободной составляющей
перейдём к операторной схеме замещения.
Катушка индуктивности заменяется
последовательно соединенными
сопротивлением
и источником ЭДС, значение которого
равно
. Конденсатор заменяется последовательно
соединёнными сопротивлением
и источником ЭДС, значение которого
равно
.
Источник переменного напряжения заменим
на его внутреннее сопротивление, т.е.
закоротим.
Таким образом, операторная схема замещения имеет вид:
Рассчитаем схему методом узловых потенциалов.
Примем
потенциал узла 0 за ноль:
.
Тогда:
Согласно закону Ома изображение входного тока равно:
Определение оригинала свободной составляющей входного тока
Согласно
теореме разложения, если операторную
функцию
можно представить в виде отношения двух
многочленов
(причём многочлен
имеет больший порядок, чем многочлен
),
то изображение для этой функции можно
определить следующим образом:
Где
- корни уравнения
.
В нашем случае:
Так
как многочлен
второго порядка, то свободная составляющая
входного тока будет представлять особую
сумму двух затухающих экспонент (при
условии действительных разных корней
уравнения
).
В результате решения уравнения получаем:
Найдём производную многочлена в знаменателе:
Вычислим:
Тогда оригинал свободной составляющей входного тока имеет вид:
-
Графики переходного тока.
Входной ток можно представить как сумму принуждённой и свободной составляющих:
Построим графики каждой из составляющих и полного тока:
-
Проверка решения.
-
Найдём входное сопротивление операторной схемы замещения. Предварительно заменим источники питания в схеме на их внутреннее сопротивление, которое равно 0. В этом случае выражение для входного сопротивления будет иметь вид:
Решив
уравнение
,
получаем:
Как
видно эти значения полностью соответствуют
значениям, полученным в пункте 5 для
уравнения
.
-
Значение входного тока в момент коммутации совпадает со значением полного тока при t=0: