1.4. Абсолютная и условная сходимость.
Рассмотрим
ряд:
, (1)
членами которого являются действительные числа (как положительные так и отрицательные). Одновременно с рядом (1) рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин:
(2)
Теорема 5: (Достаточный признак сходимости)
Если ряд, составленный из абсолютных величин (2) сходится, то исходный ряд (1) также сходится.
Доказательство:
Обозначим
через
– частичную сумму
–
первых членов ряда (1).
Пусть
– есть сумма всех положительных членов
из
первых членов ряда (1),
– есть
сумма всех отрицательных членов из
первых членов ряда (1).
Тогда:
и
,
где
– частичная сумма ряда (2).
Так
как по условию теоремы ряд (2) сходится,
т.е.
,
а
,
– есть положительные и возрастающие
функции, зависящие от
,
причём:
,
т.к.
– это часть
и
по этой же причине, тогда, по признаку
Вейерштрасса они имеют пределы, не
превосходящие
.
Вследствие этого:
также
имеет конечный предел, т.е. ряд (1) –
сходится.
Замечание1:
Этот
достаточный признак не является
необходимым, т.е. ряд
может сходится и тогда, когда ряд
– расходится.
Пример
2.
Ряд
– сходится, тогда как гармонический
ряд
расходится.
Ряд, абсолютные величины членов которого образуют сходящийся ряд, называется абсолютно сходящимся.
Если ряд сходится, а ряд, образованный из абсолютных величин его членов расходится, то данный ряд называется не абсолютно или условно сходящимся.
Замечание 2: Абсолютно сходящиеся ряды обладают переместительным свойством.
В ряде не абсолютно сходящемся нельзя переставлять члены местами, т.к. от этого может измениться сумма всего ряда.
Пример 3. Рассмотрим знакочередующийся ряд:
,
переставим у него члены так, чтобы за
всяким положительным его членом следовали
два ближайших отрицательных члена:
и
т.д. Легко видеть, что сумма нового ряда
будет равна
,
а именно (складывая соседние положительные
и отрицательные члены):
.
Таким образом, переставив члены знакочередующегося ряда получили различные суммы.
Замечание 3: Абсолютно сходящиеся ряды обладают свойством перемножения. Под произведением двух сходящихся рядов:
(3)
(4)
понимают ряд, образованный из всевозможных парных произведений членов данных рядов, расположенных в следующем порядке:
(5)
В каждой группе членов этого ряда, объединённых в скобки, сумма индексов сомножителей постоянна. На первом месте она равна 2, на втором – 3, и т.д.
Теорема
6: (без доказательства)
Если ряды (3) и (4) абсолютно сходятся,
то их произведение есть также абсолютно
сходящийся ряд, сумма которого равна
произведению сумм сомножителей (исходных
рядов):
.