Лекция 2

1.2.4. Достаточные признаки сходимости.

Рассмотрим знакоположительные числовые ряды:

(2.1)

(2.2), где

Теорема 1: (Признак сравнения) Если для рядов (2.1) и (2.2) выполняется неравенство: для всех номеров , начиная с некоторого, то из сходимости ряда (2.2) следует сходимость ряда (2.1) и из расходимости ряда (2.1) следует расходимость ряда (2.2).

Доказательство:

Рассмотрим частичные суммы рядов: и . Причём: (т.к. ). Но по условию теоремы ряд (2.2) сходится, т.е. , но это означает, что , т.е. последовательность частичных сумм является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Тогда по признаку Вейерштрасса эта последовательность имеет предел, не превосходящий . Т.е. .

Доказательство второй части теоремы основано на доказательстве от противного: Пусть ряд (2.2) – сходится, но тогда должен будет сходится и ряд (2.1) по первой части теоремы, что противоречит условию.

Замечание: Признаки сравнения применимы и в том случае, когда по условию удовлетворяют члены рядов не при всех значениях n, а начиная с некоторого .

Пример 1: Рассмотрим ряд: . Сравним его с гармоническим рядом: . Но так как гармонический ряд является расходящимся рядом, то исходный ряд также будет расходящимся.

Пример 2: Рассмотрим ряд: .

Сравним исходный ряд с рядом, который является бесконечно убывающей геометрической прогрессией: . Здесь: . Но последний ряд сходится и его сумма равна . Отсюда следует, что рассматриваемый ряд также сходится.

Теорема 2: (Признак Даламбера) Рассмотрим знакоположительный ряд: (). Если при существует предел отношения , то при – ряд сходится, при – ряд расходится.

Доказательство:

Пусть , тогда исходя из определения предела следует:

: , т.е. . Выберем настолько малым, чтобы . Тогда . Т.к. , то и , . Это означает, что:

и так далее.

Исходный ряд, начиная с слагаемого ограничивается рядом, представляющим собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, у которой знаменатель : , где . Отсюда следует, что остаток исходного ряда (начиная с слагаемого) также сходится. Значит исходный ряд также сходится.

Пусть теперь . Тогда можно выбрать сколь угодно большое число (на основании определения предела), что при будет справедливо неравенство: , где выбирается настолько малым, чтобы . Но тогда в ряде каждый последующий член будет больше предыдущего и, поскольку все они положительные, для такого ряда нарушается необходимый признак, согласно которому его общий член должен стремиться к нулю. Значит данный ряд будет расходящимся.

Пример 3: Рассмотрим ряд: . Здесь Составим отношение: и переходя к пределу, получим: , т.е. ряд сходится.

Пример 4: Рассмотрим ряд: . Для его общего члена составим отношение: . Переходя к пределу, получим: . Т.е. независимо от числа . При мы имеем гармонический ряд, который расходится. При получим ряд обратных квадратов, который сходится. Т.о. при признак сходимости Даламбера не даёт однозначного ответа о сходимости ряда.

Теорема 3: (Интегральный признак Коши). Пусть дан знакоположительный ряд: (), члены которого можно представить как целочисленные значения некоторой монотонно убывающей функции , заданной на полубесконечном интервале: .

Тогда исходный ряд сходится, если сходится несобственный интеграл: и расходится, если этот несобственный интеграл расходится.

Доказательство:

Примем в качестве . Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную линиями: , , где – произвольное целое положительное число.

Площадь данной криволинейной трапеции можно определить с помощью определённого интеграла: . Рассмотрим две ступенчатые фигуры: одна входящая в рассматриваемую криволинейную трапецию и имеющая площадь: . Вторая – выходящая за границу криволинейной трапеции: . Тогда можем записать соотношение: . Или: . Отсюда получаем:

(*)

(**)

Т.к. рассматриваемая функция –положительная, то интеграл возрастает с ростом . Тогда возможны два случая:

1). Несобственный интеграл сходится, т.е. существует конечный предел: , тогда и из неравенства (*) при всяком имеем: . Следовательно, частичные суммы являются монотонно возрастающими и ограниченными последовательностями, а значит, по признаку Вейерштрасса имеют предел, т.е. ряд сходится.

2). Несобственный интеграл расходится. Тогда при и на основании неравенства (**) заключаем, что также неограниченно возрастает с ростом значения . Т.е. ряд расходится.

Пример 5: Рассмотрим ряд: . Как было показано ранее, для этого ряда не применим признак Даламбера. Рассмотрим его с использованием интегрального признака. В качестве функции , её целочисленные значения совпадают с членами ряда. Далее анализируя несобственный интеграл первого рода, получим:

, .

Откуда следует, что данный НИ сходится, если , расходится, если .

1.3. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Рассмотрим ряды с членами, имеющими любой знак. Прежде всего остановимся на знакочередующихся рядах. В таких рядах слагаемые с положительными и отрицательными знаками чередуются между собой:

(*)

Где – положительные числа.

Теорема 4(Признак Лейбница): Если в знакочередующемся ряде (*) абсолютные величины членов ряда убывают, начиная с некоторого номера, т.е. имеем: и общий член ряда по абсолютной величине стремится к нулю: , то ряд (*) сходится, причём его сумма (по абсолютной величине) меньше, чем абсолютная величина его первого члена и остаток ряда меньше абсолютной величины первого из отбрасываемых слагаемых, т.е. .

Доказательство:

Для определённости в качестве ряда (*) рассмотрим ряд:

Представим сумму первых «2n» слагаемых ряда и частичную сумму :

Причём, каждая разность в скобках положительна по условию (т.к. ) поэтому из первого представления чётной суммы видно, что эта величина положительная и возрастает с ростом . Из второго представления суммы следует: .

Положительные величины возрастают с ростом , оставаясь всё время меньше , а значит, по признаку Вейерштрасса эти величины стремятся к некоторому пределу: .

Для нечётных частичных сумм рассмотрим равенство: , в котором при . Откуда следует: . Это означает, что исходный ряд сходится. Докажем вторую часть утверждения теоремы, т.е. . Для этого представим ряд в виде: , где – частичная сумма ряда. Заметим, что остаток ряда представляет также знакочередующийся ряд и его первый член есть , а потому, его сумма по абсолютной величине меньше, чем его первое слагаемое: т.е. .

Замечание 1. Признак Лейбница позволяет в случаях, когда применима теорема Лейбница, не только установить сходимость знакочередующегося ряда, но и оценить ошибку, допускаемую при замене ряда конечной суммой (отбрасывание всех членов ряда, начиная с некоторого номера ).

Пример 1. По теореме Лейбница сразу видно, что знакочередующийся ряд:

сходится, т.к. выполнены требования теоремы, т.е. и . Пусть сумма этого ряда равна . Причём . С другой стороны: , причём , т.е. если вместо полного ряда будем рассматривать только его часть, то допускается ошибка, меньшая чем .