Лекция 03 Ряды

Лекция № 3

Функциональные ряды: Область сходимости, правильно сходящиеся ряды, их свойства. Степенные ряды.

Область их сходимости.

Рассмотрим ряды, членами которого являются не числа, а некоторые функции:

(1)

 Ряды вида (1) называются функциональными. Полагаем, что все функции – определены и непрерывны в одном и том же интервале (конечном или бесконечном).

Ряд (1) может для одних значений “” сходится, для других – расходится.

 Значение , при котором числовой ряд сходится, называется точкой сходимости функционального ряда (1).

 Совокупность значений “”, при которых ряд (1) сходится называется областью сходимости функционального ряда (1).

Пример 1. Рассмотрим ряд: Если , то данный ряд–это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, и она имеет сумму, равную , где . Для значений данный ряд расходится. Отсюда следует, что областью сходимости данного ряда является интервал: .

Сумма функционального ряда также является некоторой функцией, зависящей от “”:

.

Так в примере 1: , причём эта сумма имеет смысл только при , т.е. в области сходимости данного функционального ряда.

По аналогии числовых рядов введём понятие “”–ной частичной суммы ряда (1) и “”– го остатка ряда соответственно:

, .

Если для какого–то (из области сходимости ряда) ряд сходится, то верны равенства: и .

Известно, что сумма конечного числа слагаемых, каждое из которых есть непрерывная функция, есть функция непрерывная. Производная и интеграл от суммы конечного числа непрерывных функций также равна соответствующей сумме производных и интегралов от этих функций. Можно ли переносить указанные свойства на бесконечное число слагаемых? Можно, но не всегда!

Пример 2. Рассмотрим ряд: .

Если , то . Если , то ряд – убывающая геометрическая прогрессия, и тогда:

.

Таким образом . Т.е. функция – разрывная функция, хотя функции – функции непрерывные.

• Функциональный ряд (1) называется правильно сходящимся (или мажорируемым) в области D , принадлежащей области сходимости ряда, если :

, где ряд – сходящийся ряд.

Пример 3. Рассмотрим ряд: . Этот ряд правильно сходится , так как , а ряд – сходится.

Свойства мажорируемых рядов.

(без доказательства)

Теорема 1: Если ряд из непрерывных функций мажорируем в области D , то его сумма есть функция непрерывная в этой области.

Теорема 2: Если ряд из непрерывных функций мажорируем, то этот ряд можно почленно интегрировать.

Пусть ряд сходится и имеет некоторую сумму в области D:

, тогда: , где .

Теорема 3: Если ряд (1) , составленный из функций, имеющих непрерывные производные, сходится в области D и его сумма равна , а ряд, составленный из производных сходится в D в правильно, то производная суммы ряда равна сумме ряда из производных, т.е. .

(Или: Если ряд, составленный из производных сходящегося ряда, мажорируем, то последний можно почленно дифференцировать).

Пример 4. Рассмотрим ряд:

. Данный ряд мажорируемый и его сумма есть непрерывная функция, но ряд, составленный из производных:

расходится, т.к. .

Рассмотрим важнейший класс мажорируемых рядов, которые называются степенными рядами.

Степенные ряды. Интервал и область сходимости.

• Степенным рядом называется функциональный ряд:

, (1)

где – называются коэффициентами степенного ряда. Если , то получим ряд по степеням “”:

, (2)

где – “” – ный член ряда, – нулевой член ряда.

Теорема 1:(Абеля) Если степенной ряд (2) сходится в , то он сходится и притом абсолютно в интервале: , т.е. .

Доказательство:

Пусть степенной ряд (2) сходится в , т.е. ряд – сходится тогда , тогда такое, что . Перепишем ряд (2) в виде: и составим ряд, полученный из абсолютных величин членов исходного ряда:

,

причём:

.

В скобках стоит бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, если или . Таким образом исходный ряд ограничен сверху абсолютно сходящимся рядом. Значит исходный ряд также сходится абсолютно при .

Следствие: Если степенной ряд (2) расходится в , то он расходится и при всяком .

Действительно, пусть при котором он сходится, тогда по теореме Абеля ряд должен сходится, в том числе и в , что противоречит условию.

Теорема Абеля позволяет определить интервал сходимости степенного ряда.

Вся числовая ось может быть представлена в виде множества точек, где степенной ряд либо сходится, либо расходится (в окрестности для ряда (2) или для ряда (1)). Причём если границей интервала сходимости является , то при ряд сходится, а при ряд расходится. В граничных же точках ряд может либо сходиться, либо расходиться.

• Радиусом сходимости степенного ряда (2) называется такое число , что для всех – степенной ряд сходится, а для всех ряд расходится.

• Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда (2). Принимаем, что для рядов, расходящихся при всех действительных чисел, кроме , радиус сходимости , а для рядов, сходящихся для всех действительных чисел .

Для степенных рядов (1) всё сказанное остаётся в силе; центр интервала сходимости будет находиться в , т.е. интервал является интервалом сходимости ряда.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (2):

. Данный ряд будет сходиться (т.к. он знакоположительный и к нему применим, например, признак Даламбера) если и расходиться, если , где . Множество значений , при которых данный предел меньше 1 и будет интервалом сходимости степенного ряда.

Пример 5. Рассмотрим степенной ряд:

.

Здесь: , . Рассмотрим: .

На основании признака Даламбера, получим: при – ряд будет сходиться, а при – ряд будет расходиться. Для установления области сходимости рассмотрим поведение ряда в граничных точках:

Пусть : тогда ряд будет числовым .

При имеем: . Наряду с полученными знакочередующимися числовыми рядами рассмотрим ряд:

– этот ряд сходящийся и ограничивающий сверху имеющиеся ряды. Последний ряд сходится. Отсюда следует, что ряды в граничных точках интервала также сходятся. Тогда областью сходимости исходного ряда будет область: .

Пример 6. Найдём область сходимости ряда:

.

Составим отношение: .

Найдём .

Согласно признаку Даламбера, ряд будет сходиться, если , т.е. . Таким образом, интервалом сходимости ряда является интервал: . Для определения области сходимости ряда рассмотрим поведение ряда в граничных точках интервала:

Пусть :

– ряд Лейбница, он сходится.

Рассмотрим вторую границу:

:

– гармонический ряд, он расходится. Таким образом, областью сходимости данного ряда является множество .

Операции над степенными рядами

Степенные ряды относятся к классу мажорируемых рядов в области их сходимости.

Теорема 1: Степенной ряд (2) является рядом на любом промежутке из интервала сходимости ряда, т.е. , где , – радиус сходимости ряда (2).

Доказательство:

Так как , то при ряд сходится, причём сходится абсолютно, т.е.

– сходится.

Но в рассматриваемом промежутке:

, , т.е. исходный ряд мажорируется сходящимся рядом.

Следствие: Сумма степенного ряда есть функция непрерывная на любом отрезке из интервала сходимости.

Теорема 2: Степенной ряд можно интегрировать на любом отрезке из интервала сходимости.

Теорема 3: Степенной ряд (2) можно дифференцировать на всём интервале сходимости, т.е. , причём: При этом интервалы сходимости исходного и полученного при дифференцировании ряда совпадают.

Доказательство:

Рассмотрим продифференцированный ряд: . Покажем, что он сходится также в . Действительно, рассмотрим:

Для исходного ряда: .

Итак, .

8