Тема 2. Математические и логические основы построения цифровых электронных устройств

1. Роль аппарата алгебры логики в построении цифровых электронных устройств. Понятие логической функции.

2. Статические логические операции: дизъюнкция, конъюнкция, инверсия, операция Шеффера, Пирса, равнозначность, неравнозначность, импликация, запрет. Представление статических логических операций с помощью таблиц состояний. Условное графическое изображение данных логических операций и их релейно-контакторная реализация.

3. Динамические логические операции: задержка, память. Условное изображение, релейно-контакторная реализация.

4. Основное законы и равносильности алгебры логики: перемести-тельный закон, сочетательный, распределительный, закон повторения, закон отрицания.

5. Методы представления логических алгоритмов: аналитический, табличный, графический.

6. Понятие функциональной полноты, базис функций алгебры логи-

ки: базис И-НЕ и базис ИЛИ-НЕ. Выражение одних логических функций через другие. Понятие нормальных и совершенных нормальных форм записи алгоритмов.

7. Методы минимизации логических алгоритмов: минимизация ал-горитмов с помощью карт Карно.

Методические разработки

Построение цифровых узлов автоматики базируется на математическом аппарате алгебры логики. Как и во многих других разделах математики здесь очень важную роль играют элементарные функции двух переменных, (статические и динамические логические операции). Это те "кирпичики", с помощью которых строятся более сложные дискретные устройства. В связи с важностью изучаемого материала логические функции двух переменных и ряд других основных положений алгебры логики необходимо знать на память.

Статические и динамические логические операции удобно запоминать в систематизированном порядке, который отмечен в программе, ориентируясь на аналитическую форму записи через операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. Необходимо знать также и условное графическое изображение элементов, выполняющих данные логические операции.

Ряд основных законов алгебры логики имеет некоторую аналогию с законами обычной алгебры (например, переместительный и сочетательный, что и облегчает их изучение. Четкое доказательство основных законов и равносильностей алгебры логики можно провести лишь с использованием аппарата теории множеств. В связи с этим в нашем случае предлагается вести доказательство упрощенно, с помощью релейно-контакторных схем.

Одним из основных положений алгебры логики является понятие базиса функций, который представляет собой особую комбинацию элементарных функций, с помощью которых можно выразить все остальные логические функции. К наиболее распространенным базисам относятся:

- базис конъюнкции, дизъюнкции и инверсии;

- базис функции Шеффера и инверсии;

- базис операции Пирса и инверсии.

Необходимо уметь записывать элементарные логические функции в любом из рассмотренных базисов.

В процессе синтеза и обработки алгоритмов наиболее часто используют формы записи, получившие название нормальных (канонических) и совершенных нормальных форм. Нормальные формы записи алгоритма удобны для сравнение алгоритма и их технической реализации. Для того чтобы осуществить минимизацию логической функции, последнюю обычно необходимо представить в совершенно нормальной форме.

Наиболее наглядный метод минимизации - способ, основанный на картах Карно. Применять его целесообразно, если число переменных не превышает шести, Удачнее всего данный метод изложен в [2]. При изучении материала следует обратить внимание на порядок заполнения карты Карно и правила объединения клеток, соответствующих соседним состояниям.

Вопросы для самопроверки

1. Перечислите основные логические функция двух переменных.

2. Приведите условное графическое изображение основных статических, логических операций.

3. Какая контактная схема реализует логическую операцию "штрих Шеффера", "операцию Пирса"?

4. Покажите, как с помощью, релейно-контакторной схемы можно реализовать операцию "Память".

5. Как формулируется правило де Моргана?

6. Перечислите и докажите с помощью контактных схем основные равносильности алгебры логики.

7. Запишите в базисе И-НЕ все основные статические логические операции.

8. Изложите методику приведения логической функции к конъюнктивной совершенной нормальной форме записи.

9. Что представляет собой таблица состояний истинности и как она заполняется?

10. Что дает объединение двух соседних областей в карте Карно?