- •Глава I 9
- •Глава I математический формализм
- •О понятии действительных чисел
- •Формализм натуральных чисел
- •Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел
- •Вывод 1
- •Вывод 2
- •Замечание 1
- •Аксиоматика рациональных чисел
- •Определение 1
- •Следствие
- •Задачи, приводящие к расширению множества рациональных чисел
- •Задача 1
- •Задача 2
- •Вывод 3
- •Аксиоматизация множества действительных чисел
- •Аксиома непрерывности Кантора.
- •Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии
- •О “Началах” Евклида
- •Аксиоматика д. Гильберта(1862–1943)
- •Группа 1. Аксиомы соединения
- •Теорема 1
- •Теорема 2
- •Теорема 3
- •Группа 2. Аксиомы порядка
- •Определение
- •Группа 3. Аксиомы конгруэнтности
- •Теорема (о внешнем угле треугольника)
- •Определение движения
- •Замечание 1
- •Вывод 1
- •Вывод 2
- •Группа 4. Аксиомы непрерывности
- •Замечание 2
- •Замечание 3
- •Вывод 3
- •Группа 5. Аксиома параллельности
- •Замечание 4
- •Два недостатка аксиоматики д. Гильберта
- •Структура векторного пространства
- •Модель направленных отрезков
- •Сложение обладает свойствами:
- •Свойства операции умножения:
- •Определение
- •Арифметическая модель векторного пространства
- •Теорема размерности
- •Вывод 1
- •Вывод 2
- •Вывод 3
- •Аксиомы скалярного произведения векторов
- •Следствие
- •Следствие
- •Вывод 4
- •Определение
- •Модель Вейля евклидовой геометрии
- •Арифметизация трехмерного евклидова пространства
- •Свойства операции откладывания вектора
- •Определение
- •Вывод 1
- •Вывод 2
- •Многомерное арифметическое евклидово пространство
- •Вывод 3
- •Замечание
- •Следствие 1
- •Основные факты в планиметрии Лобачевского
- •1. Сумма углов многоугольника в плоскости l2
- •Следствие 2
- •Вывод 3
- •Глава II свойства аксиоматических систем
- •Математические структуры и аксиоматические теории
- •Понятие отношений между объектами
- •Следствие 1
- •Пример 1
- •Определение
- •Следствие 2
- •Понятие математической структуры
- •Определение
- •Замечание 1
- •Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры
- •Рассмотрим пример
- •Вывод 1
- •Вывод 2
- •Определение
- •Изоморфизм
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Определение изоморфизма
- •Вывод 3
- •Вывод 1
- •Независимость аксиоматической системы
- •Независимость аксиомы параллельности
- •Замечание 1
- •Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом
- •Определение (дедуктивной полноты)
- •Определение (категоричности)
- •Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики
- •Анализ текстовых парадоксов
- •Языковые свойства имен объектов
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Проблема выразимости
- •Понятие искусственного языка
- •Понятие парадокса
- •“Ахиллес и черепаха”
- •Парадокс пустого множества
- •Парадокс достижимости в натуральном ряде
- •“Одно и то же, но по–разному”
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Заключение
- •Обозначения.
- •Литература
Парадокс пустого множества
Рассмотрим высказывание Т{то, что я скажу, ложь}. Зададимся вопросом, истинно это утверждение или ложно? Если Т истинно, то по своему смыслу оно ложно. Если Т ложно, то отрицание лжи есть истинно. Таким образом, Т не является ни истинным, ни ложным. В чем суть противоречия?
Рассмотрим утверждение “Т” как аксиому и рассмотрим существование реализации R(T) мыслимой модели с аксиомой Т. Реализация есть пустое множество. В противном случае на этой реализации мы имеем некоторое свойство с его отрицанием. Поэтому не существует изоморфизма мыслимой модели Т ни на какую реализацию R(T).
Утверждение такого типа, когда мыслимые модели не имеют реальных моделей, можно называть бессмысленными.
Парадокс достижимости в натуральном ряде
Натуральный ряд N – это множество, определяемое системой аксиом Пеано, см. п.1.1. § 1. Элемент x будем называть достижимым, если этот элемент х=S(...S(S(1))) получен конечным числом операций последования S из первого элемента “1”.
Вопрос: всякий ли элемент x достижим? Для ответа воспользуемся аксиомой 5 “Математической индукции” аксиоматики Пеано (см. п.1.1. §1). Пусть М – множество всех достижимых элементов: 1М, S(1) М; если xМ, то S(х)М. Следовательно, по аксиоме 5, заключаем, что МN, т.е. все элементы натурального ряда достижимы.
С другой стороны, как мы знаем (п.1.1. § 1), линейная цепь
Т = 1, 2, ... , n, ... ; ..., а–2, а –1, а0, а1, а2, ... ; ... ,
является моделью натурального ряда (все аксиомы Пеано выполняются). В этой модели второй и следующие за ним блоки имеют вид
..., а–2, а –1, а0, а1, а2, ...
и содержат недостижимые элементы. Получили противоречие с тем, что все элементы достижимы.
Покажем, что свойство достижимости (назовем его аксиомой Д) не зависит от аксиом Пеано, следовательно, не является логически выводимым в теории этой аксиоматики.
Пусть П= П1, ... ,П5 – аксиоматика Пеано (п.1.1, §1).
Модель Сколема Т реализует систему аксиом П и отрицание аксиомы Д:Т=R1П,Д. Модель десятичного систематического представления N натурального ряда реализует аксиомы П и Д:N=R2(П,Д). Следовательно, согласно достаточным условиям независимости системы аксиом (п.7.3., §7) заключаем, что аксиома Д не зависит от П.
Вывод
В теории аксиом Пеано свойство достижимости не доказуемо и не опровержимо, подобно тому, как в абсолютной планиметрии не доказуема и не опровержима аксиома параллельности.
“Одно и то же, но по–разному”
– именно так характеризуется аксиоматическая теория, имеющая две неизоморфные модели. Напомним, п.7.4 §7, что такие аксиоматики, аксиоматические теории и структуры называются некатегоричными, и рассмотрим примеры.
Вначале напомним, что система 15 аксиом (часть аксиом Гильберта) определяет геометрию 2 плоскости Евклида. Если заменить аксиому параллельности Евклида на аксиому параллельности Лобачевского, то получим систему 15 аксиом планиметрии Лобачевского с моделью Пуанкаре L2. Напомним также, что обе эти геометрии образуют дедуктивно полные и категоричные аксиоматические теории. Теперь сформулируем пример.
Пример 1
Из 15 аксиом планиметрий Е2 и L2 удалим аксиомы параллельности. Оставшиеся 14 аксиом составляют Теорию абсолютной планиметрии. Эта теория не категорична, так как L2 не изоморфна R2. Эта теория дедуктивно не полна, т.к. аксиома параллельности не выводима из остальных аксиом.
Таким образом, одна и та же система аксиом абсолютной планиметрии в разных моделях имеет различные “визуальные” эффекты. Например, в плоскости L2, (см. §5) мы “видим” два равных треугольника по трем равным углам, а также две прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Этого “увидеть” в плоскости R2 мы не можем.