Глава 2. Элементы векторной алгебры §2.1. Линейные операции над векторами

1⁰. Основные понятия. Скаляры и векторы. Рассматриваемые в различных физических процессах объекты и физические величины имеют разнообразную природу. Некоторые из них – такие, как масса, температура, объем и пр. вполне определяются одним числом. их называют скалярными величинами (просто скалярами).

Замечание. Кроме скалярных величин имеются так называемые псевдоскаляры, определяемые одним числом, знак которого зависит от выбора положительного направления оси (ей). Таковы, например, проекция вектора на ось, статические моменты относительно осей и пр.

Наряду со скалярными величинами, имеются физические величины, для характеристики которых необходимо указывать также и направление; например, таковыми являются сила, скорость, напряженность. Такие величины называются векторными величинами или векторами.

Заметим, что кроме скалярных и векторных величин имеются физические величины с более сложной структурой, чем скаляры и векторы; для их определения недостаточно знать числовое значение и направление. Их называют тензорами второго и высших рангов. Например, напряженное состояние в данной точке упругого тела характеризуется тензором второго ранга.

Введем отвлеченное (то есть освобожденное от конкретного содержания) понятие скаляра и вектора.

Определение 1.Скаляром называется всякое действительное число. Вектором называется направленный прямолинейный отрезок.

Замечание. В этом определении дана геометрическая модель векторной величины в виде прямолинейного отрезка с выбранным на нем направлением (вектор – направленный отрезок, от латинскогоvehere– влечь, тянуть).

Ниже (см. Гл.4) понятие «вектора» обобщается на понятие n–мерного вектора.

Итак, вектор – это прямолинейный отрезок, у которого различают начало и конец. Применяют обозначения: (N– начало,K– конец вектора),,…;a,b,…– одной буквой жирного шрифта (рис.2.1 хх ). Длина вектора (также модуль, абсолютная величина) обозначается символами:,, |a|; употребляют также запись=a. Еще определение.

Определение 2. Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нуль-вектором (обозначение –). Для него, очевидно, ||=0.

Определение 3. Векторыи, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными векторами. Применяют обозначение║‌.

Определение 4. Компланарными называются векторы, лежащие или параллельные одной и той же плоскости.

Для сравнения векторов вводят понятие (лишь) их равенства. Заметим также, что сравнивать можно лишь векторы, имеющие одинаковый физический смысл.

Определение 5. Два вектораиназываются равными векторами

=(2.1)

если 1) они коллинеарны, 2) направлены в одну и ту же сторону, 3) равны по абсолютной величине (рис.2.2 хх ).

Замечание. Так определяется равенство «свободных» векторов.

В естествознании различают свободные, скользящие (аксиальные) и связанные (полярные) векторы. Например, скорость точек поступательно движущегося тела – свободный вектор; сила, приложенная к абсолютно твердому телу – аксиальный вектор; скорость точки, движущейся по некоторой криволинейной траектории – полярный вектор.

Свободные векторы являются наиболее общим случаем задания величины, определяемой численным значением и направлением. Изучение других типов векторов можно свести к изучению свободных векторов. Далее рассматриваются лишь свободные вектора.

Из определения равенства векторов (2.1) следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, перемещая его начало в любую точку пространства. Еще определение.

Определение 6. Для любого вектора() существует противоположный вектор, обозначаемый «–», обратно коллинеарный с вектором, модуль которого.

В заключение пункта приведем еще два определения.

Определение 7. Единичным вектором (ортом) называется вектор, модуль которого равен единице.

Обозначая орт вектора символом, имеем, следовательно,

‌‌=1. (2.2)

Определение 8. Углом между двумя векторами называется меньшая часть плоскости, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки и направленными одинаково с данными векторами (рис.2.3 хх ).

2⁰. Линейные операции над векторами. В векторном исчислении скаляры и векторы рассматриваются как особого рода алгебраические величины, над которыми производятся алгебраические операции. Эти операции отражают характерные зависимости. которые существуют между различными скалярными и векторными величинами. Изучение этих операций и составляет предмет векторной алгебры.

Под линейными операциями над векторами понимаются операции сложения, вычитания векторов и умножение их на число (скаляр).

Сложение векторов. Введем определение действия сложения векторов.

Определение 1. Суммой двух векторов и(обозначается+) называется вектор:

=+(2.3)

изображаемый диагональю параллелограмма, построенного на слагаемых векторах (рис 2.4, а).

Следствием этого определения является правило суммирования нескольких векторов:

суммой нескольких векторов является вектор(обозначается=), представляющий замыкающую многоугольника, построенного на слагаемых векторах (рис.2.4, б).

Перечислим (без доказательства) свойства операции сложения векторов.

1) +=+– операция сложения перестановочна (коммутативна);

2) (+)+=+(+)=++– сложение ассоциативно (обладает сочетательным свойством; см.рис.2.4,в).

Пример. Для противоположных векторов, очевидно,+( –)=0.

Замечание. То, что физическая величина характеризуется численным значением и направлением, является необходимым, но отнюдь не достаточным признаком того, что данная величина является векторной. Она обязательно должна подчиняться действиям векторной алгебры, в частности, векторному (геометрическому) сложению.

Примером, иллюстрирующим это положение, может служить поворот твердого тела вокруг оси. Представив такой поворот отрезком, равным по величине углу поворота и направленным по оси вращения в ту сторону, откуда поворот виден против часовой стрелки, можно обнаружить, что такие отрезки не подчиняются правилу векторного сложения, причем их сумма зависит от порядка слагаемых.

Вычитание векторов. Введем определение.

Определение 2. Разностью двух векторов и(обозначается–) называется вектор(=–), для которого (рис.2.5):

+=. (2.4)

Из рис.2.5 видно, что +(–)=– факт, проверяемый чисто алгебраически: (–)+=+(–)+=+=.

Замечание. Из формул=–и+=следует, что слагаемые векторы можно переносить с противоположным знаком из одной части равенства в другую

Умножение вектора на скаляр. Подобное действие определяется следующим образом.

Определение 3. Произведением вектораи скаляраназывается вектор (обозначается), удовлетворяющий условиям:

1) модуль произведения равен произведению модуля умножаемого вектора на абсолютную величину скаляра:

; (2.5)

2) направление произведения одинаково с умножаемым вектором, если >0, и противоположное, если<0.

Операция умножения вектора на скаляр обладает следующими свойствами:

1) – коммутативное свойство;

2) – ассоциативное свойство последовательного умножения вектора на несколько скаляров;

3) – дистрибутивное (распределительное) свойство умножения суммы векторов на скаляр;

4) – дистрибутивное свойство умножения суммы скаляров на вектор.

Доказательство этих свойств носит чисто геометрический характер; здесь их не воспроизводим.

Из определения действия умножения вектора на скаляр следует, что справедливо представление:

. (2.6)

Докажем теорему.

Теорема. Два вектора иколлинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство

=. (2.7)

Доказательство. Из определения умножения вектора на число следует, что если =, то векторыиколлинеарны. Очевидно, что и обратно, из коллинеарности векторовиследует, что=.