Литература

1. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Академия, 2004 (и др. годы изданий).

2. Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Астрель, 2001 (и др. годы изданий).

Работа № 21 сложение гармонических колебаний одинаковой частоты

Цель работы: научиться измерять разность фаз гармонических колебаний одинаковой частоты методом сложения колебаний, экспериментально определить зависимость фазового сдвига между колебаниями напряжения на двух последовательно соединенных элементах электрической цепи от частоты и сравнить полученную зависимость с рассчитанной теоретически.

1. Сложение двух одинаково направленных гармонических колебаний

При сложении двух одинаково направленных колебаний некоторой материальной точки результирующее смещение точки равно алгебраической сумме смещений ив каждом из колебаний. Этот же случай реализуется и при сложении колебаний скалярных физических характеристик колебательной системы (давления, силы тока, напряжения и т.д.). Если частоты складываемых колебаний равны, то

,.

Сложение таких колебаний можно произвести, воспользовавшись методом векторных диаграмм

Н

Рис. 1

а рис. 1 показано положение векторов,и результирующего векторадля некоторого момента времени. Уголмежду векторамииравен. Так как векторыивращаются с одинаковой угловой скоростью, уголсо временем не изменяется. Следовательно, и результирующий векторвращается с той же угловой скоростью, а соответствующие колебания совершаются с циклической частотой. Амплитуду результирующего колебания можно найти по теореме косинусов, согласно которой

. (1)

Формула (1) позволяет найти амплитуду результирующего колебания , если известны амплитудыискладываемых колебаний и соответствующая разность фаз. Эту формулу можно преобразовать к виду

. (2)

По формуле (2) можно найти разность фаз , если известны амплитуды,и.

2. Сложение двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний

Если материальная точка может совершать колебания как вдоль оси , так и вдоль перпендикулярной к ней осис одинаковой частотой, то при одновременном колебании вдоль этих осей колебания описываются уравнениями

,, (3)

где и– амплитуды колебаний;– разность фаз (фазовый сдвиг) колебаний. Если из этих уравнений исключить время, то после некоторых преобразований можно получить уравнение траектории движения точки, которое имеет вид

. (4)

Это уравнение эллипса. Материальная точка описывает этот эллипс за время, равное периоду складываемых колебаний. Ориентация эллипса и его размеры зависят от амплитуд иb складываемых колебаний и разности фаз .

Уравнение (3) справедливо не только для колебаний материальной точки. Например, подавая переменное электрическое напряжение на входи напряжениетой же частоты на входосциллографа, можно заставить световое пятно на экране осциллографа совершать колебания как вдоль оси, так и вдоль оси. На экране осциллографа будет высвечиваться траектория движения этого пятна – эллипс. На рис. 2 показан вид эллипса для некоторого частного случая. (Стационарные картины на экране осциллографа, являющиеся результатами сложения взаимно перпендикулярных колебаний с кратными частотами, называютсяфигурами Лиссажу.)

Из уравнения (4) следует, что при

или.

Следовательно, по виду эллипса можно определить и фазовыйсдвиг . Следует отметить, что определить знак, а следовательно,и знак фазового сдвига, по виду эллипса обычно бывает невозможно,

Рис. 2

поскольку при большой частоте колебаний невозможно проследить, движется ли световое пятно вдоль эллипса по часовой стрелке или против. Поэтому в работе будем определять и фазовый сдвиг только по модулю. В соответствии с обозначениями, принятыми на рис. 2,

,. (5)

Поскольку складываемые колебания подаются на разные входы осциллографа, коэффициенты усиления в каналах которых могут быть разными, отношение амплитуд колебаний светового пятна может не совпадать с отношением амплитуд напряжений, подаваемых на входы осциллографа. Однако при измерении фазового сдвига по формуле (5) надо знать амплитуду колебаний светового пятна только вдоль оси. Амплитуда колебаний вдоль осиможет быть любой.

Анализ ошибки измерения фазового сдвига этим методом показывает, что наиболее предпочтительным является случай, когда . Этого можно достичь, регулируя коэффициенты усиления соответствующих усилителей.