Министерство образования и науки Российской федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

53 № 3388

К 602

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Лабораторный практикум по курсу общей физики для студентов I–II курсов РЭФ, ФЭН, ФТФ, ИДО всех направлений подготовки и всех форм обучения

Новосибирск 2007

УДК 534(07)

         К 602

Составители: канд. физ.-мат. наук, доц. В.Ф. Ким,

канд. физ.-мат. наук, доц. Э.А. Кошелев,

канд. физ.-мат. наук, доц. Ю.Е. Невский

Рецензент: канд. физ.-мат. наук, доц. И.И. Суханов

Работа подготовлена на кафедре прикладной и теоретической физики НГТУ

 Новосибирский государственный технический университет, 2007   

Колебания и волны

лабораторный практикум

Редактор И.Л. Кескевич

Выпускающий редактор И.П. Брованова

Компьютерная верстка В.Ф. Ноздрева

Подписано в печать 11.09.2007. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Тираж 500 экз. Уч.-изд. л. 2,79. Печ. л. 3,0. Изд. № 159. Заказ № . Цена договорная

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20

Работа № 20а

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы: исследовать зависимость периода колебаний физического маятника от положения оси вращения, относительно которой происходит качание маятника; используя полученную экспериментальную зависимость, определить моменты инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции, и относительно других осей, параллельных первой.

Дифференциальное уравнение колебаний физического маятника

Физический маятник – твердое тело, которое может вращаться под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку, не совпадающей с точкой центра инерцииэтого тела. Схема маятника показана на рис. 1.

Д

Рис. 1

ифференциальное уравнение колебаний (уравнение движения) физического маятника можно получить из закона сохранения энергии. В состоянии равновесия потенциальную энергию маятника относительно Земли будем считать равной нулю. Тогда при отклонении маятника на уголпотенциальная энергия будет равна, где– ускорение силы тяжести, кинетическая энергия маятника равна, где– момент инерции маятника относительно оси вращения;– угловая скорость – первая производная от угла поворота по времени.

Полная механическая энергия маятника

. (1)

Если угол отклонения от положения равновесия мал, то. Тогда выражение (1) можно переписать в виде

. (2)

Поскольку при колебаниях маятника неизбежно совершается работа по преодолению сил трения, механическая энергия постепенно убывает. Учитывая, что в дальнейшем нас будет интересовать, прежде всего, период колебаний, предположим, что потери энергии за время одного периода по сравнению с полной энергией пренебрежимо малы. Определим уравнение движения, а из него и период колебаний в этом приближении.

Если потерями энергии можно пренебречь, то , а.

Определим производную от энергии по времени из выражения (2) и приравняем ее нулю. В результате получим уравнение

. (3)

Решение дифференциального уравнения (3) имеет вид

, (4)

т.е. маятник совершает гармонические колебания. Здесь – амплитуда колебаний;– фаза колебаний;– круговая (циклическая) частота;– начальная фаза. Амплитуда колебаний и начальная фаза из уравнения (3) не находятся. Они определяются заданием так называемых начальных условий. Круговая частота колебанийопределяется видом уравнения (3) и равна корню квадратному из коэффициента перед переменной, т. е.

. (5)

Период колебаний связан с частотойсоотношением. Учитывая (5), получим выражение для периода колебаний

. (6)

Определение момента инерции маятника по измерениям периодов колебаний

В формуле (6) представлена неявная связь между периодом колебаний и расстояниемот оси вращения до центра инерции физического маятника. Явную связь этих величин можно получить, если воспользоваться теоремой Штейнера.

В соответствии с теоремой Штейнера момент инерции маятника относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между этими осями, т.е. . Формулу для периода колебаний теперь запишем в виде

. (7)

Функция имеет минимум. Если взять от этой функции первую производную пои приравнять ее нулю, то можно найти значение расстояния, при котором период минимален. Это расстояние.

Подставив это значение в формулу (7) , получим

. (8)

Если экспериментально определить , то момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, можно вычислить по формуле

, (9)

полученной из выражения (8). Момент инерции относительно любой другой параллельной оси, смещенной на расстояние , может быть найден по теореме Штейнера.

Однако положение центра масс для рассматриваемого физического маятника неизвестно, а потому неизвестно также и расстояние . Тем не менее момент инерции относительно произвольной оси можно найти и в этом случае, исходя из результатов измерения периода, пользуясь только одним измерительным прибором – секундомером.

Преобразуем формулу (7) к виду

. (10)

Это квадратное уравнение, из которого можно определить параметр , соответствующий измеренному значению периода. Решение этого уравнения имеет вид

. (11)

С учетом формулы (8) можно также записать

. (12)

Поскольку момент инерции , воспользовавшись формулами (9) и (12), получим

. (13)

Таким образом, полученная формула позволяет найти момент инерции физического маятника по измерениям лишь периодов колебаний при изменении точки подвеса маятника без измерения его геометрических параметров.