МУ_лаб1

Лабораторная работа №1.

Применение метода Эйлера к задаче об остывании тела.

Цель работы: Знакомство с методом Эйлера численного интегрирования дифференциального уравнения 1-го порядка, оценка порядка точности метода.

Постановка задачи.

Математическая модель для задачи остывания тела в виде обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка в простейшем случае, когда температура является только функцией времени, была получена в виде:

dT/dt = -r(T - T_ch),

где коэффициент r= /mc назван коэффициентом остывания.

Для его решения необходимо иметь начальное условие: Т_t=0 = T₀. Это уравнение легко интегрируется, если коэффициент остывания r - константа, однако, если r является некоторой функцией температуры (что вполне реально), то для решения поставленной задачи приходится прибегать к численным методам.

Пусть мы имеем экспериментальные данные по остыванию чашечки кофе:

t, мин	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Т,0С	83	77.7	75.1	73.0	71.1	69.4	67.8	66.4	64.7	63.4

t, мин	10	11	12	13	14	15
Т,0С	62.1	61.0	59.9	58.7	57.8	56.6

Температура окружающего воздуха Т_ср = 20.0 ⁰С.

Требуется написать алгоритм численного решения уравнения остывания (алгоритм Эйлера), составить программу вычислений и проанализировать полученные результаты.

1. Анализ программы с постоянным коэффициентом остывания.

   1. Определение коэффициента остывания из сравнения экспериментальных данных с расчетными данными (путем сопоставления расчетных и экспериментальных результатов при их графическом представлении).

   2. Использование расчетных данных с полученным в п.1.1 коэффициентом остывания для анализа результатов:

а) сколько времени потребуется, чтобы разность температур тела и среды уменьшилась от первоначальной вдвое?

б) кофе нужно охладить до 75⁰С; доливание молока понижает температуру на 5⁰С. На что уйдет больше времени: сначала естественным путем охладить от 90⁰ до 80⁰, а затем долить молока; или при 90⁰ долить молока, а затем естественным путем охладить от 85⁰ до 75⁰?

1. Исследование погрешности решения с использованием результатов аналитического решения уравнения остывания (организовать выдачу результатов на печать в таблицу с интервалом по времени 1 мин).

1. при выбранном шаге Δt численного решения оценить абсолютную погрешность расчета в момент времени t=5 мин путем сравнения результатов аналитического решения и численного; уменьшить шаг вдвое – уменьшилась ли погрешность?

2. сравнить результаты численного решения для шагов Δt=0,1; 0,05; 0.01 в момент времени t=5мин и оценить порядок точности метода Эйлера.

Содержание отчета.

1.Математическая формулировка задачи об остывании тела в среде.

2.Алгоритм приближенного решения данной задачи методом Эйлера.

3.Результаты численного решения, кривая остывания (зависимость температуры от времени для выбранного коэффициента остывания).

4.Ответ на вопросы по п.1.2.

5.Анализ точности метода Эйлера (построить зависимость абсолютной погрешности от выбранного шага t).

Контрольные вопросы

1.В чем суть разностных методов приближенного решения дифференциальных уравнений первого порядка?

2.Понятия погрешности численного решения, сходимости численного метода, устойчивости разностной схемы вычислений.

3.Схема вычислительного эксперимента.

3