К.А.Джафаров Методы и модели в экономике
Глава 1. Элементы математического программирования
Под принятием решений понимается сложный процесс, в котором можно выделить 4 основных этапа.
Построение качественной модели
Построение модели рассмотренной ситуации состоит из:
выделения наиболее важных факторов,
установления закономерностей, которым эти факторы подчиняются.
Построение математической модели
Построение математической модели включает построение целевой функции, т.е. такой числовой характеристики, большему (или меньшему) значению которой соответствует лучшая ситуация с точки зрения человека, принимающего решения.
Исследование влияния переменной на значение целевой функции (анализ модели на чувствительность )
Экспертная проверка результатов
Сопоставление результатов, полученных на третьем этапе, с моделируемым объектом. На этом этапе устанавливается степень адекватности модели и моделируемого объекта в пределах точности исходной информации.
Возможны 2 случая: 1 - результаты сопоставления неудовлетворительны, отсюда, переходят ко второму циклу процесса, т.е. уточняется входная информация о моделируемом объекте и, в случае необходимости, уточняется постановка задачи, 2 - результаты сопоставления удовлетворительны модель принимается.
Постановка основной задачи математического программирования
Пусть
задано множество допустимых решений X
и функция
,
определенная на X и называемаяцелевой
функцией,
где
Эта система равенств и неравенств называется в задачах МП ограничением.
Общая
задача МП заключается в минимизации
(максимизации) скалярной функции
от векторного аргументаxX,
т.е. на допустимом множестве X.
Основные разделы МП:
Линейное программирование
Целочисленное программирование
Динамическое программирование
Нелинейное программирование
Для начала займемся линейным программированием.
§1 Различные формы задач лп
1. Общая задача лп
(1)
при ограничениях
(3)
Решения, удовлетворяющее ограничениям (2), называются возможными решениями задачи. Решения, удовлетворяющее ограничениям (2) и условиям (3), называются допустимыми решениями задачи. Решения, удовлетворяющее условиям (1),(2),(3), называются оптимальными решениями задачи.
2. Задача с ограничениями неравенствами
,
п
ри
ограничениях
3. Стандартная форма задачи лп (каноническая )
,
при ограничениях
Любую модель можно привести к стандартной форме. Рассмотрим ограничения:
Неравенства
можно представить в виде равенства,
прибавляя остаточную переменную к левой
части ограничения (вычитая избыточную
переменную из левой части ограничения)
Пример
Правую часть равенства всегда можно сделать неотрицательной, умножая обе части на (-1)
Переменные: любую переменную xi , не имеющую ограничения в знаке, можно представить в виде разности двух неотрицательных переменных.
Эти изменения производятся везде, где участвует переменная.
Пример:
Целевая функция.- Перейдя к противоположному знаку можно перейти к противоположной задаче. (от max к min, и наоборот):
,
Пример:
Нужно свести к стандартной форме:
Рассмотрим 2-ое ограничение
3)
Тогда:
при
ограничения:
