Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

tfkp-operations

.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
27.03.2015
Размер:
452.49 Кб
Скачать

Операционное исчисление и его применение

[Старков В.Н. Операционное исчисление и его применения. Учебн. пособ.-СПб, 2000.-65 с.]

Настоящий сборник задач по операционному исчислению возник на основе опыта преподавания раздела по операционному исчислению, входящему в курс лекций по Теории функций комплексного переменного (глава 7), читаемый на факультете прикладной математикипроцессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Он

имеет своей целью дать преподавателю и студенту некоторый минимум теоретического материала по основным вопросам операционного исчисления.

Каждый раздел начинается с краткого введения, в котором без доказательства приводятся необходимые формулы и указания. Задачник может служить пособием для лиц, самостоятельно изучающих операционное исчисление. Все задачи снабжены ответами. Приводятся также образцы решения задач и примеров с объяснениями.

Сборник может быть использован студентами и аспирантами физико-математических факультетов высших учебных заведений.

Содержание

1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу

2.Нахождение изображений функций

3.Отыскание оригинала по изображению

3.1.Разложение на простейшие дроби

3.2.Первая теорема разложения

3.3.Вторая теорема разложения

4.Таблица свойств изображений

5.Основные теоремы операционного исчисления

5.1.Свойство линейности

5.2.Теорема подобия

5.3.Теорема запаздывания

5.4.Теорема смещения

5.5.Теорема упреждения

5.6.Теорема умножения изображений

5.7.Интеграл Дюамеля

5.8.Умножение оригиналов

5.9.Изображение периодических оригиналов

5.10.Дифференцирование оригинала

5.11.Дифференцирование изображения

5.12.Интегрирование оригинала

5.13.Интегрирование изображения

6.вычисление несобственных интегралов с помощью преобразования Лапласа

7.Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами

8.Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений

9.Применение интеграла Дюамеля к интегрированию дифференциальных уравнений

10.Интегрирование дифференциальных уравнений с переменными (функциональными)

коэффициентами

11.О функциях с запаздывающим аргументом и их изображениях

12.Интегрирование дифференциальных уравнений, содержащих в правой части функцию

Хевисайда

13.Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом

14.Решение интегральных уравнений

15.Решение нестационарных задач математической физики

16.Индивидуальные задания по теме «Решение обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом»

17.Ответы для индивидуальных заданий по теме «Решение обыкновенных линейных

дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом

18.Литература по операционному исчислению

19.Вопросы для собеседования или тестирования

Операционное исчисление позволяет решать различные математические задачи: нахождение интегралов, решение обыкновенных дифференциальных уравнений, интегральных уравнений, уравнений в частных производных и т.п.

В основе методов операционного исчисления лежит идея интегральных преобразований (преобразование Лапласа), позволяющих свести обыкновенные дифференциальные и интегральные уравнения к алгебраическим (операторным) уравнениям, а дифференциальные уравнения в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

1.Оригиналы и изображения функций по Лапласу

Определение 1. Будем действительную функцию действительного аргумента f(t) называть оригиналом, если она удовлетворяет трем требованиям:

1.f (t) ≡ 0 , при t < 0 .

2.f (t) < Mes0t , при t > 0 , где M > 0, s0 ³ 0 — некоторые действительные постоянные, s0

называют показателем роста функции f (t) . В этом случае говорят, что функция

f(t) возрастает не быстрее показательной функции.

3.На любом конечном отрезке [a, b] положительный полуоси Ot функция f (t) удовлетворяет

условиям Дирихле, т.е. a) ограничена,

b) либо непрерывна, либо имеет лишь конечное число точек разрыва I рода, c) имеет конечное число экстремумов.

Функции, удовлетворяющие этим трем требованиям, называются в операционном исчислении

изображаемыми по Лапласу или оригиналами.

Определение 2. Изображением по Лапласу функции f (t) называется функция комплексного переменного p = s + iσ, определяемая соотношением

 

F( p) = ò f (t)eptdt

(1)

0

 

Тот факт, что функция F(t) является изображением

оригинала f (t) , символически это

записывается так:

 

F ( p) = L{f (t)} или F( p) → f (t)

(2)

2. Нахождение изображений функций (оригиналов)

Будем искать изображения функций по формуле (1). Пример 1. Найти изображение функций f (t) = at , t > 0. Решение. Так как a = elna , то f (t) = et×lna . Найдем

− pt

 

−t( p−lna)

 

 

e−t( p−lna)

 

 

 

F( p) = ò f (t)e

dt

= òe

dt =-

 

=

1

 

 

 

p−lna

 

0

 

p−lna

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Найти изображение единичной функции Хевисайда

 

 

 

 

 

ì1, при t > 0

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

h(t) = í

 

< 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î0, при t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. По формуле (1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e− pt

 

 

=

 

 

 

 

 

h(t) ¬ òh(t)e− ptdt =òe− ptdt =

 

 

1

.

 

− p

p

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание. Функция η (t) является простейшей функцией-оригиналом. С ее помощью можно

любую функцию, удовлетворяющую только условиям 2 и 3, превращать в оригинал, удовлетворяющий уже всем условиям определения 1. Это делается с

помощью выражения:

 

ìj(t) при t > 0

(4)

j(t)h(t) = í

0 при t < 0

î

 

Однако в дальнейшем для простоты записи пишут вместо ϕ(t)η(t) просто ϕ(t) , считая, что при t<0 эти функции равны нулю. Например, вместо оригинала η(t)sin ω t будем писать

просто sin ωt , имея в виду, что и эта функция-оригинал.

Полученные с помощью формулы (1) изображения некоторых функций сведены в таблицу. Эту таблицу можно поменять. Ее можно использовать для нахождения изображений функций (см. примеры ниже).

Таблица изображений основных функций

F(t) —

 

F(p) —

F(t) —

 

F(р) — изображение

 

оригинал

изображение

 

оригинал

 

 

 

 

 

 

 

(t>0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t>0)

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

10

eαt cosβt

 

p - a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( p - a)2 + b2

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

t n

 

 

 

 

n!

11

eαt sinβt

 

b

 

 

 

 

 

pn+1

 

 

 

 

 

 

( p - a)2 + b2

 

3

е λt

1

 

 

 

 

12

tneαt

 

β

 

 

 

 

 

p − λ

 

 

 

 

 

( p − α)n+1

 

 

 

4

Sinωt

 

 

 

 

ω

13

t cosβt

 

p2 − β2

 

 

 

p2 + ω2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( p2 + β2 )2

5

Cosωt

 

 

 

 

p

14

t sinβt

 

2

 

 

 

p2 + ω2

 

 

 

 

( p2 + β2 )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(t) —

 

 

F(p) —

F(t) —

 

F(р) — изображение

 

оригинал

изображение

 

оригинал

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t>0)

 

 

 

 

 

 

(t>0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

shωt

 

 

ω

15

tn sin wt

 

n!Im( p + iw)n+1

 

 

 

 

 

 

 

p2 − ω2

 

 

 

 

( p2 + w2 )n+1

 

 

 

 

 

 

7

chωt

 

 

p

16

tn coswt

 

n!Re( p + iw)n+1

 

 

 

 

 

 

 

p2 − ω2

 

 

 

 

(b2 + w2 )n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

Sin(t-α ),α >0

 

 

e-ap

17

tneat sin wt

 

n! é

1

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2i ë( p - a - iw)n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

1

 

 

ù

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ú

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( p

- a + iw)n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

Cos(t-α ),α >0

 

 

e-ap

18

tneat cos wt

 

n! é

1

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ë( p - a - iw)n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

1

 

 

ù

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ú

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( p

- a + iw)n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3. Найти изображение функции f(t)=cos3t.

Решение. По Формуле Эйлера cos t= 12 (еit + e-it ). Тогда

 

 

 

 

3

 

 

 

 

1

 

3it

 

 

 

it

 

 

 

 

 

-it

 

-3it

 

1

e3it + e-3it

3

 

eit + e

-it

1

 

 

3

 

сos t=

 

 

(e

+3e +3e

 

 

+e

 

 

)= 4 ×

 

 

+

 

 

×

 

=

4 cos3t+

 

cost.

8

 

 

 

 

 

2

4

2

 

 

 

 

 

4

Применив формулу 5 из таблицы, получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(p)=

1

×

 

 

 

p

+

3

 

 

 

 

 

p

 

 

=

p

 

×

p2 +1+ 3p + 27

=

 

 

 

p( p2

+ 7)

 

 

 

 

 

4

 

p2

 

+ 9

4

 

 

p2 +

1

4

 

( p2 + 9)( p2 +1)

 

( p2 + 9)( p2 +1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 4. Найти изображение функции f(t)=shatsinbt.

 

 

 

 

 

 

Решение. Так как sh at=

1

(eat

- eat ) , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(t)=

 

e

at

sin bt -

 

e

-at

sin bt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применяя формулу 11 из таблицы пункта 2, получим

 

 

 

 

 

 

F(p)=

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

-

 

1

 

 

 

 

 

b

 

=

 

 

 

 

2 pab

 

 

 

 

 

 

2 ( p - a)2 + b2

 

2 ( p + a)2 + b2

(( p - a)2 + b2)(( p + a)2 + b2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5. Найти изображение функции f(t)=tchbt.

Решение. Так как f(t)=

t

(ebt + e-bt ) =

1

tebt +

1

te-bt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По формуле 12 для n=1 имеем:

p2 + b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(p)=

 

1

 

+

 

 

1

 

=

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2( p

b)2

2( p

+ b)2

( p2 b2)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В задачах 6–16 найти изображения функций или по таблице, или непосредственно по

 

 

 

 

формуле(1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. f(t)=sin t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ответ: F(p)=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p( p2 + 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p( p2 + 2p + 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. f(t)=e cos t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ответ: F(p)=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( p -1)( p2 - 2 p + 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

8. f(t)=4t2–2t+3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ответ: F(p)=

 

8

 

 

-

2

 

 

 

 

+

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p3

 

 

p2

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. f(t)= 1 t3 + 4cos 2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ответ:

2

+

 

 

 

4 p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

2 + 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. f(t)= 1 sin3t - 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ответ: F(p)=

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

-

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 + 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 + p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. f(t)=4-5e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ответ: F(p)=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2p - p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12. f(t)=3t3et

+ 2t2 -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ответ: F( p) =

 

 

 

 

 

18

 

 

 

 

 

 

+

 

4

 

-

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( p +1)4

 

 

 

p3

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

f (t) = 2sin 2t + 3sh2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ответ: F( p) =

 

10p2 + 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p4 -16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.

f (t) = t2et + 2tet + 4ch2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ответ: F( p) =

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

2

 

 

 

+

 

4 p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( p -1)3

 

( p

+1)2

 

p2 - 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ответ: F( p) =

 

1

 

æ

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

f (t) = cos 2t × sin 3t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

ç

 

 

 

2

 

 

+

 

+

p

2

+ 25

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è p

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

Указание: использовать формулу sin 3t × cos 2t = 1

(sin5t + sint)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

f (t) = e

4t

sin 3t cos2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ответ: F( p) =

 

1

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

ç

 

( p +

4)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 4)

2

+ 1

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

+ 25 ( p

 

ø

 

Указание: использовать равенство sin 3t × cos 2t =

1

(sin5t + sint)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Отыскание оригинала по изображению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

нахождения оригинала f(t) по

 

известному изображению

F(p)

 

 

 

 

нужно

 

использовать

формулы обращения Римана-Меллина. Если функция f(t) является оригиналом, т.е. удовлетворяет условиям 1-3 определения 1 и F(p) служит ее изображением, то в любой точке своей непрерывности функция f(t) равна:

 

 

1

 

 

a+iw

 

f (t) =

 

lim

ò

e pt F( p)dp (5)

 

 

 

 

 

2πi w®¥

 

 

 

 

 

 

a-iw

получающийся интеграл (в

смысле

главного значения) берется вдоль любой прямой

Re p = a > s0 .

f (t) применяется весь аппарат ТФКП. На практике используются

Ясно, что при вычислении

следующие приемы.

3.1 Разложение на простейшие дроби.

A( p)

Если F( p) = B( p) есть дробно-рациональная функция, причем степень числителя

A( p) меньше степени знаменателя B( p) , то эту дробь разлагают на сумму простых дробей и

находят оригиналы для каждой простой дроби либо непосредственно по формуле (1), либо по таблице из пункта 2.

p

Пример 17. Найти оригинал функции F( p) = p2 - 2 p + 5.

Решение. Разложим дробь на сумму таких дробей, оригиналы которых можно найти по формулам 10 и 11 таблицы пункта 2.

 

 

p

=

( p -1) +1

=

 

 

 

p -1

 

 

 

+

 

1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 4

 

p2 - 2 p + 5 ( p -1)2 + 4 ( p -1)2

 

+ 4 ( p -1)2

 

 

 

p − 1

® et cos2t,

 

1

×

2

 

 

 

 

®

1

et sin 2t.

 

 

( p -1)2 + 4

2

( p -1)2 + 4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Окончательно

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

® et (cos2t +

sin 2t)

 

 

 

 

 

 

 

p2 - 2 p +

5

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 18. Найти оригинал функции F( p) =

 

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p3 - 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Используем элементарные приемы разложения, известные из интегрального исчисления. Разложим данную дробь на простейшие:

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

A

Bp + C

 

 

A( p2

+ 2 p + 4) + ( p - 2)(Bp + C)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p3 - 8

p - 2

p2

+ 2 p + 4

 

 

 

 

( p - 2)( p2

+ 2 p + 4)

 

 

 

 

 

Приравниваем числители ( A + B) p2 + (2 A - 2B + C) p + 4 A - 2C = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

 

1

 

 

ü

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 :

 

 

A + B = 0 ü

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p: 2 A - 2B + C =

ï

®

B = -

 

1

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0ý

 

 

 

 

 

ý

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1:

 

4 A - 2C =

ï

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1þ

 

 

 

C = -

 

1

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

þ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

1

 

1

 

 

p + 4

1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

p + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

.

 

 

=

 

 

×

 

-

 

 

×

 

=

 

×

 

-

 

×

 

 

 

 

-

 

 

 

×

 

 

 

p3 - 8

12

p - 2

12

p2 + 2 p + 4

12

p - 2

12

 

( p +1)2 + (

 

 

12

 

( p +1)2 + (

 

 

 

3)2

3)2

Используя формулы 3, 10, 11 из таблицы пункта 2, получим:

f(t) = 121 e2t - 121 et (cost3 + 3 sint 3).

Вследующих задачах найти оригиналы по заданным изображениям.

19.

F( p) =

 

1

 

Ответ: f (t) = -

1

et

+

1

e2t +

 

1

e−2t .

( p - 1)( p2 - 4)

 

 

12

 

 

 

 

 

3

 

4

 

 

 

 

20.

F( p) =

( p + 3)

 

Ответ: f (t) = 1- 2et + e3t .

 

 

 

p( p2

- 4 p + 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21.

 

 

1

 

1

 

1

 

 

1

 

 

 

 

F( p) =

 

 

Ответ: f (t) =

 

 

-

 

ch t

+

 

ch 2t.

p( p4

- 5p2 + 4)

4

3

12

22.

F( p) =

 

 

1

 

 

 

 

 

p2

+ 4 p + 5

23.

F( p) =

 

 

1

 

 

 

 

 

p2

+ 4 p + 3

24.

F( p) =

 

 

1

 

 

 

 

 

( p2

+ 1)2

 

 

 

 

 

25.

F( p) =

 

 

p

( p2

+ 1)2

 

 

 

 

 

26.

F( p) =

 

 

1

 

 

 

 

 

p + 2 p2 + p3

 

 

27.

F( p) =

 

 

1

 

 

 

 

 

7 - p + p2

 

 

28.

F( p) =

2 p3 + p2 + 2 p + 2

p5

+ 2 p4 + 2 p3

 

29.

F( p) =

 

 

p + 2

( p +1)( p - 2)( p2 + 4)

3.2. Первая теорема разложения

Теорема. Если изображение искомой

1

степеням p ,т.е.

F( p) = ap0 + ap12 + ××× +

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

f (t) = e2t

sint.

 

 

 

 

 

 

 

f (t) =

1

 

(et - e3t ).

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) =

1

 

(sint - t cost).

2

 

f (t) =

1

t sint.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

f (t) = 1- et - tet .

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

t

 

 

3

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

f (t) =

 

e2 sin

 

 

t.

 

 

 

 

9

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) =

t 2

 

+ 2et

sint.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) =

1

e2t -

 

1

 

et

 

-

1

6

15

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 cos2t - 5 sin 2t.

функции может быть разложено в степенной ряд по

a

 

 

pnn+1

+ ×××

(6)

(причем этот ряд сходится к F( p) при | p|> R = lim

 

an+1

 

¹ ¥ ), то оригинал имеет вид

 

 

 

an

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) = a0 + a1

t

+ a2

t 2

 

+ ××× + an

t n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ×××

 

(7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1!

2!

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(причем ряд сходится при всех значениях t ).

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 30. Найти оригинал функции F( p) =

 

 

 

 

, используя первую теорему разложения.

 

p( p4 + 1)

 

Решение. Имеем F( p) =

1

1

 

1

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

×

 

 

 

 

=

 

-

 

+

 

- ×××

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p( p4

+ 1)

p5

1+

1

 

 

p5

p9

p13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этот ряд сходится при | p|> 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим f (t) =

t 4

t8

 

t12

 

t16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

+

 

 

-

 

 

+ ×××

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4!

8!

12!

16!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С помощью первой теоремы разложения найти оригиналы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31. F( p) =

 

1

 

 

 

 

где k - целое положительное число. Ответ:

f (t) =

t k

 

 

ak t 2k

a2k t 3k

 

 

 

,

 

-

 

 

+

 

 

- ×××

pk

+ ak

k!

(2k)!

 

(3k)!

32. F( p) = sin

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: f (t) = 1-

 

t 2

t 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

- ×××

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3!2!

5!4!

 

3.3. Вторая теорема разложения

Она утверждает, что при определенных условиях на

F( p) , как функцию комплексного

переменного, оригиналом для F( p) служит функция

 

f (t) = åres[F( p)e pt ],

(8)

( pk )

 

где сумма вычетов берется по всем особым точкам pk функции F( p) в порядке неубывания их модулей.

В частности, если F( p) = BA(( pp)) правильная рациональная дробь, то оригиналом ее служит

функция

 

j=l

m=k j

 

 

 

t

k j m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) = å å Aj,m

 

 

 

 

 

e p jt

 

 

 

 

 

(9)

 

 

(k j - m)!

 

 

 

 

 

 

j=1

 

m=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Aj,m =

 

 

1

 

 

 

ì

d

m−1

[( p - p j )k j F( p)e pt ]

(10)

 

 

 

lim í

 

 

(m

 

 

 

 

 

 

 

-1)! pp j îdpm−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p j полюсы F( p)

кратности k j

( j =

 

) , m =

 

.

 

 

1,l

1,k j

 

 

Если все полюсы F( p) простые, то формула упрощается и имеет вид

 

 

j=l

 

A( p

j

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) = å

 

 

 

 

e p jt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11)

 

B'( p j )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 33. Найти оригинал по его изображению F( p) =

1

.

p3 ( p -1)

Решение. Для функции F( p) точка

p1 = 0 является полюсом 3-го порядка, а p2 = 1 – простым

полюсом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для отыскания оригинала по формуле (8) найдем вычеты функции Ф( p) = F(

этих полюсах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По формулам (9), (10)

 

 

 

 

 

 

 

e pt [(t 2 p - t 2 )( p -1) - 2(tp - t -1)]

 

 

 

resФ(0) =

1

lim

d 2

(

 

e pt

 

) =

 

1

lim

= -1- t -

t2

 

d

 

 

p -

1

 

 

 

 

( p -1)3

 

2

 

 

2! p→0

h

2

 

 

 

 

2! p→0

 

 

 

 

По формуле (11):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

resФ(1) =

 

 

1

 

 

 

 

e

t

= e

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[p

4 - p3 ]'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+ et .

 

 

 

F( p) ® res Ф(o) + resФ(1) = -1- t - t

 

 

 

 

×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Пример 34. Найти оригинал по изображению F( p) =

 

 

p3

 

( p2

+1)2

 

 

Решение. Представим F( p)

в другом виде

 

 

 

 

pt

 

 

e pt

p)e

 

=

 

 

в

 

p3

 

 

 

 

( p -1)

.

 

 

 

F( p) =

 

p3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( p - i)2 ( p + i)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точки p1

= i

и p2 = -i являются для F(p) полюсами 2-го порядка.

 

 

Вычислим вычеты функции F( p) = F( p)e pt в этих полюсах.

 

 

 

 

 

1

d p3e pt

 

e pt [(3p2

+ p3t)( p + i) - 2 p3 ]

æ 1

 

t

ö

it

resF(i) =

 

 

lim

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

= ç

 

-

 

÷e

 

 

 

dp ( p + i)2

 

 

( p + i)3

 

4i

 

 

1! pi

pi

 

 

è 2

 

ø

 

 

 

 

1

 

 

 

d

 

 

 

p3e pt

 

 

 

 

e pt [(3p2 + p3t)( p - i) - 2 p3 ]

 

 

æ

1

 

 

 

t ö

 

−it

resF(-i) =

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ç

 

 

+

 

 

 

÷e

 

 

 

 

dp ( p

- i)2

 

 

 

 

 

 

 

 

( p - i)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1! p→i

p→i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

4i ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

1

 

t

 

 

ö

 

it

 

 

æ

1

 

 

t ö

 

−i

 

 

 

Окончательно: F( p) = aresF(i) + resF(-i) = ç

 

 

-

 

 

 

÷e

+ ç

 

 

 

 

 

+

 

 

÷e

 

 

 

 

 

 

2

4i

2

 

4i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

è

 

ø

 

 

 

t

è

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

(eit

+e−it ) -

×

1

(eit

-e−it

 

) = cost -

 

sin t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 35. Найти оригинал по изображению F( p) =

 

 

 

 

 

, используя 2-ю теорему

( p -1)3

разложения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

p = 1-полюс 3-го порядка. Найдем в нем вычеты функции

 

 

 

F( p) = F( p)e

pt

=

 

 

 

 

e pt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( p -1)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

d

2

æ

 

 

 

 

 

 

e

pt

 

ö

1

 

 

 

d

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

resF(1) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

( p -1)

3

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

e

pt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

÷ =

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!lim

dp

2

 

 

( p -1)

3

 

 

 

dp

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

ø

2! p→1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p→1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

 

lim(t

2

e

pt

)

=

 

t2

 

 

e

t

= f (t) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2! p→1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 36. Найти оригинал по изображению

F ( p) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

.

 

( p

+ 1)( p + 2)( p +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)( p + 4)

Решение. Имеем четыре простых полюса

 

 

p1 = −1,

p2

 

 

= −2,

p3

= −3,

 

p4

= −4.

Найдем вычеты в них по формуле (11). Нам понадобится производная знаменателя. Он имеет

вид

( p + 1)( p + 2)( p + 3)( p + 4) = ( p2 + 3p + 2)( p2 + 7 p + 12) =

 

 

 

= p4 + 10 p3 + 35 p2 + 50 p + 24.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Его производная

4 p3 + 30 p 2 + 70 p + 50 . Вычеты в простых полюсах

r =

 

- 1 × e-t

 

= -

e- t

 

, r =

 

- 2 × e-2t

 

= e- 2t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

- 4

+ 30 - 70

+ 50

 

 

6

2

 

- 32

+ 120 - 140 + 50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r =

 

- 3 × e-3t

= -

3e- 3t

 

,

r =

 

- 4 × e-4t

=

2e- 4t

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

- 108 + 270 -

210 + 50

 

 

2

 

 

4

 

 

- 256 + 480 - 280 + 50

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Окончательно

f (t ) = r1 + r2 + r3 + r4

= -

1

(e- t

- 6e- 2t + 9e- 3t

- 4e- 4t ).

6

Используя различные приемы, найти оригиналы по данным изображениям.

 

p

 

 

 

1

æ

3

 

2

 

t

 

t

 

t

 

- 2t

 

- 2t ö

37. F ( p) =

 

.

Ответ:

f (t ) =

 

ç

 

t

 

e

 

+ te

 

- e

 

+ 2te

 

+ e

÷.

( p + 1)( p + 2)( p + 3)( p + 4)

27

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

38. F ( p) = 4 − p + p2 . p3 p2

1

39. F ( p) = . p4 − 6 p3 + 11p2 − 6 p

1

40. F ( p) = . ( p − 1)3( p3 + 1)

1

41. F ( p) = . p4 + 2 p3 + 3p2 + 2 p + 1

42.

F ( p) =

 

p2

+ 2 p − 1

 

.

 

 

p3 + 3p2 + 3p + 1

 

 

 

 

 

 

43.

F ( p) =

 

p

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p3 + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

44. F ( p) =

 

2 p + 3

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p3 + 4 p2 + 5p

 

 

45.

F ( p) =

 

 

 

 

1

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( p − 1)2( p + 2)

 

 

46.

F ( p) =

 

p2

+ 2 p − 1

.

 

 

p3 − 2 p2 + 2 p − 1

 

 

 

 

 

 

47.

F ( p) =

 

3p2

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( p3 − 1)2

 

 

 

 

 

 

48.

F ( p) =

 

 

 

 

 

p + 1

 

.

 

p( p

1)( p

2)( p − 3)

 

 

 

 

49.

F ( p) =

 

 

1

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2( p2 + 1)

 

 

 

 

 

 

50.

F ( p) =. ln(1 +

1

) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

Ответ: f (t ) = 2et

− 4t

− 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: f (t ) = −

1

+

 

1

 

et

1

e2t

 

 

+

1

e3t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

et +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

Ответ:

f (t ) =

1

 

 

 

(2t 2 − 6t + 3)et

 

1

 

2

sin(

t

3

+

).

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

f (t ) =

2

 

2

(sin t

 

t cos t ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

f (t ) = et (1 − t 2 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

f (t ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e 2 çcos

 

 

 

 

 

 

t

+

 

3 sin

 

 

 

 

t

÷.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

f (t ) =

3

+

1

e− 2t (4 sin t

 

− 3 cos t).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

f (t ) =

1

(e− 2t

 

et

 

+ 3tet ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

æ 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

f (t ) = 2e

 

 

 

+ e

2 ç

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

− cos

 

 

 

 

 

 

t÷.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

tet

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

Ответ:

f (t ) =

 

 

 

 

 

2 (cos

 

 

 

 

t +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

te

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 sin

 

 

t )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

f (t ) = −

1

+ et

 

 

3

e2t +

2

e3t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

f (t ) = t

 

 

− sin t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

f (t ) =

1

 

(1 − et ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]