DE_1

Оглавление

1.4Формулировка теоремы существования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1Скалярные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1Интегрирование уравнения математического маятника . . . . . . . 24

4.2Пространство решений однородного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.1Понижение порядка линейного однородного уравнения . . . . . . . 38

5.1Случай кратных корней характеристического уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.2.1Уравнения Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2

7.4Неоднородные системы и вариация постоянных . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.1О связи линейных дифференциальных уравнений и систем . . . . . . . . 71

8.2 Матричная экспонента и ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.3Вещественные решения вещественных систем . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.4Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами . . . . 76

9.1Теорема Флоке

и теорема Ляпунова о приводимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

9.2Параметрический резонанс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

10.1Другие теоремы существования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

10.2Глобальность существования решений для линейных уравнений и систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

11.2Фазовые портреты линейных систем на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

11.3Обратимые системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3

16.0.1О существовании вещественного матричного логарифма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4

Глава 1

Обыкновенные дифференциальные уравнения и их решения

1.1Предмет курса, что изучают, как изучают

Теория дифференциальных уравнений изучает непрерывные процессы, развивающиеся во времени (меняющемся на некотором интервале вещественной прямой R) и/или пространстве, которое само также является некоторой областью из Rn. Процесс описывается некоторыми переменными (например, x1, x2, . . . , xm), являющимися характеристиками данного процесса, например, это могут быть координаты и скорости движущейся частицы в пространстве (механика), температура в данной точке Земли в данное время суток (метеорология), скорость и направление движения частиц воздуха, движущихся вблизи летящего самолета (аэромеханика, необходима при создании самолетов, при этом воздух моделируется не как в молекулярной физике набором взаимодействующих молекул-частиц, а как сплошная среда), плотность на единицу площади проживания некоторой популяции людей, животных, насекомых, растений в данное время в данном месте (демография, экология), вероятность нахождения атомной частицы в малом объеме около данной точки в заданный момент времени (квантовая механика). В теории обыкновенных дифференциальных уравнений независимая переменная единственная (например – время), а зависимых переменных может быть несколько.

Дифференциальные уравнения появились почти одновременно с появлением математического анализа. Эти уравнения – соотношения, связывающие переменную x при данном значении независимой переменной t, мгновенную скорость изменения x, ее ускорение, и (может быть) ее высшие производные при одном и том же значении независимой переменной t. Обычно эту основную переменную x называют зависимой переменной, а величины, от которых она зависит при изменении процесса, называют независимыми переменными.

Предположим, что F (t, x, y1, . . . , yn) – заданная функция переменных t, x, y1, . . . , yn, достаточно гладкая по этим переменным, определенная в некоторой области в пространстве Rn+2.

5

Определение 1.1 Соотношение вида

называется обыкновенным дифференциальным уравнением, а число n – порядком уравнения.

Отметим, что в это уравнение входят производные от функции x только по одной независимой переменной, в данном случае t, такие дифференциальные уравнения называются обыкновенными.

1.1.1Примеры обыкновенных дифференциальных уравнений

1.Задача о нахождении первообразной y(x) для заданной функции f(x), определенной на интервале (a, b), может быть записана в виде дифференциального уравнения относительно переменной y:

dxdy = f(x), x (a, b).

Множество решений этого дифференциального уравнения бесконечно: если y0(x) – некоторая первообразная, то из математического анализа мы знаем, что остальные первообразные даются формулой y(x) = y0(x) + C с произвольной постоянной C.

f(t, x) = a(t)x + b(t). Решим такое уравнение в случае b ≡ 0 и постоянным коэффициентом a : x′ = ax. Прямая подстановка показывает, что функции вида x(t) = c exp[at] при любом c являются решениями. Множество решений снова бесконечно (данное уравнение описывает распад радиоактивного вещества, закон Мальтуса роста населения, величина c задает количество вещества в начальный момент времени t = 0 или количество населения в начальный момент времени).

3.Закон движения частицы по прямой (с координатой x) описывается вторым законом Ньютона: в каждый момент времени t произведение массы m частицы на ее ускорение равно силе, действующей на частицу. Из курса математического анализа мы знаем, что если изменение положения (координаты) частицы от времени

при движении по прямой описывается функцией x(t), то считая эту функция 2 раза дифференцируемой, мы получаем, что ускорение равно ddt22x = x¨. Поле сил f(x), действующих на частицу в точке x при движении, обычно задано условиями задачи, поэтому получаем дифференциальное уравнение Ньютона:

mx′′ = f(x).

(например, так описывается горизонтальное движение груза, закрепленного между двумя пружинками).

6

4.Материальная точка может двигаться не по прямой, а в пространстве, тогда ее положение задается трехмерным вектором, зависящем от времени, т.е. тремя скалярными функциями от времени – координатами движущейся точки. Закон Ньютона все равно справедлив, только это будет не одно дифференциальное уравнение, а три, т.е. система трех ДУ, а f – это вектор-функция с тремя компонентами.

Частный случай такого уравнения – плоские колебания маятника (материальной точки, подвешенной вертикально в одной точке на нерастяжимой нити) под действием силы тяжести. Поскольку нить нерастяжима, то (плоское) движение маятника происходит в плоскости по окружности, радиус которой равен длине нити. Поэтому положение маятника удобно описывать координатой на окружности, т.е. углом θ, отсчитываемым от нижнего равновесного положения маятника. На точку при движении действует в каждый момент времени постоянная сила тяжести и сила натяжения нити. Записывая закон Ньютона относительно угловой координаты, получаем закон движения маятника (математический маятник)

¨

θ = −k sin θ

(сила возвращает маятник к равновесному состоянию). Если маятник движется в пространстве, то он двигается по сфере (сферический маятник).

5. Уравнение Дюффинга (механика колебаний континуума):

x¨ + x − x3 = 0

6.Уравнение ван дер Поля (колебания тока в радиотехническом контуре, радиотехника)

x¨ + α(1 − βx2)x˙ + ω2x = 0.

1.1.2"Необыкновенные" уравнения, описывающие процессы

Чтобы уметь отличать обыкновенные дифференциальные уравнения от других, "необыкновенных"дифференциальных уравнений, приведем примеры таких уравнений.

•Уравнение Шредингера одномерного движения квантовой частицы в силовом поле, описываемом функцией V : комплексная функция ψ(t, x) описывает вероятность нахождения квантовой частицы в окрестности точки x в момент времени t, изменение этой функции во времени и пространстве задается уравнением

iψt = V (x)ψxx.

•Уравнение Кортевега-де Вриза, описывающее движение волны на мелкой воде, таким уравнением описывается движение волны цунами вблизи берега, здесь u – это превышение положения волны над некоторым равновесным положением:

ut + 6uux + uxxx = 0.

7

Приведенные уравнения являются уравнениями с частными производными, т.к. в уравнение входят производные по двум независимым переменным t, x.

В дальнейшем, в этом курсе, мы изучаем только обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения с частными производными изучаются в курсах математической физики и уравнений с частными производными. Тем не менее, уравнения с частными производными первого порядка встретятся нам в конце курсе, поскольку их решение сводится, в некотором смысле к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

1.2Решения дифференциальных уравнений

Определение 1.2 Решением обыкновенного дифференциального уравнения (1.1) называется n раз непрерывно дифференцируемая функция x(t), определенная вместе со своими производными до порядка n на некотором интервале t (a, b) R, которая удовлетворяет следующим условиям:

1)при всех t (a, b) набор (t, x(t), x′(t), . . . , x(n)(t)) лежит в области определения функции F ;

2)при подстановке функции и ее производных в левую часть уравнения получается числовое тождество при всех t (a, b): F (t, x(t), x′(t), . . . , x(n)(t)) ≡ 0.

Дифференциальное уравнение обычно имеет бесчисленное множество решений. В задачах, связанных с решением дифференциальных уравнений, часто нужно найти решение, удовлетворяющее некоторым дополнительным условиям. Имеются различные способы выделения конкретных решений, из них два – наиболее важные – это задание начальных условий для искомого решения (задача Коши1) и нахождение решений с помощью задания краевых условий. Почти во всем нашем курсе дифференциальных уравнений мы будем изучать решения с помощью задания начальных условий, о краевых условиях мы поговорим позже при изучении линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

В дальнейшем мы будем изучать важный специальный класс ОДУ, которые называются уравнениями, разрешенными относительно старшей производной. Так называются ДУ, которые могут быть записаны в виде

x(n) = f(t, x, x′, . . . , x(n−1)),

т.е. когда в рассматриваемой области изменения переменных уравнение F (t, x, y1, . . . , yn) = 0 можно разрешить относительно переменной yn : yn = f(t, x, y1, . . . , yn−1). Например, это будет так, если к этому уравнению применима теорема о неявной функции (в точках, где F = 0, Fyn ≠ 0). Функция f, задающая уравнение, предполагается непрерывной или более регулярной (гладкой) в некоторой области изменения переменных D R × Rn. При n = 1 соответствующее дифференциальное уравнение называют скалярным:

1Огюст Коши (Augustin Louis Cauchy, 21.08.1789–23.05.1857) – знаменитый французский математик

8

Еще одно полезное (технически и концептуально) упрощение теории достигается, если вместо изучения одного уравнения n-го порядка перейти к изучению системы n уравнений первого порядка, используя следующую замену переменных

После введения этих переменных уравнение запишется в виде следующей системы ДУ

1-го порядка:

y1′ = y2, y2′ = y3, . . . yn′ −1 = yn, yn′ = f(t, y1, · · · , yn),

где первые n −1 уравнений следуют из формул замены, а последнее – запись исходного ДУ в новых переменных. Решив полученную систему и взяв первую координату y1(t) найденной вектор-функции Y (t) = (y1(t), . . . , yn(t))T , мы получаем решение исходного ДУ n-го порядка. Этот переход, как мы увидим далее, имеет много преимуществ как в компактности изложения теории (компактность не в математическом смысле, а в общежитейском!), так и в геометрической интерпретации полученных результатов.

В дальнейшем мы часто будем использовать векторную запись системы дифференциальных уравнений, т.е. мы вводим вещественное n-мерное векторное пространство векторов-столбцов Y = (y1, y2, . . . , yn)T , в нем рассматривается система n дифференциальных уравнений первого порядка

y˙1 = f1(t, y1, y2, . . . , yn), . . . y˙n = fn(t, y1, y2, . . . , yn),

которая записывается в векторном виде:

Y˙ = F (t, Y ).

Под производной Y ′(t) вектор-функции Y (t) понимают, как обычно, вектор-функцию, компоненты которой являются производными функций – компонент.

Решением этой векторной системы ДУ уравнений называется вектор-функция Y (t), заданная на некотором интервале t I R, непрерывно дифференцируемая по t (все компоненты этой вектор-функции являются дифференцируемыми функциями от t при t R), и такая, что при каждом t R точка (t, Y (t)) лежит в области определения вектор-функции F и при этом при всех t I выполнено тождество Y ′ ≡ F (t, Y (t)).

График решения, т.е. множество точек (t, Y (t)) Rn+1 называют интегральной кривой решения Y (t). Например для скалярного дифференциального уравнения (1.2) интегральная кривая есть график обычной скалярной функции x(t), лежащий в области D определения дифференциального уравнения.

Рассмотрим теперь геометрию, лежащую в основе понятия "решить дифференциальное уравнение". Предположим, что в некоторой области D R2 изменения переменных (t, x) задана скалярная функция двух переменных f(t, x), определяющая скалярное дифференциальное уравнение x˙ = f(t, x). Если x(t) – решение этого уравнения, то график этой функции должен принадлежать области D. Эта функция дифференцируема и касательная к графику в точке (t, x(t)) имеет угловой коэффициент k = x′(t). Эти угловые коэффициенты задаются правой частью уравнения: k = f(t, x), x = x(t). Таким образом, можно считать, что дифференциальное уравнение задает в каждой точке

9