Zad_opt

Решение

При полном внутреннем отражении ( θ1 ≥ arcsin( n2 n1) ) сдвиг

по фазе р- и s-компонент относительно падающей волны может быть рассчитан по формулам (7.25) и (7.26):

Задача 7.2.8. При каком угле полного внутреннего отражения фазовый сдвиг между р- и s-компонентами отраженной волны максимален?

Решение

В соответствии с формулой (7.33):

θ1 = arcsin( n2 n1 ) и θ1 = π2 , то исследуя φ(θ1) на экстремум, получим, что максимальное значение:

В частности для границы стекло–воздух ( n21 =11,5 ):

ϕmax = 45°36′ при θ1max = 51°20′, а ϕ = 45°= π4 при θ1 =( 48°37′ и 54°37′) .

Чтобы при однократном полном внутреннем отражении света достичь ϕ≥ π2 , необходимо иметь материал с n ≥ 2,41 (у алмаза n = 2,42 ).

2n2

Ответ: θ1max = arcsin 21 1+ n212

Задача 7.2.9. Рассчитать преломляющий угол θ для параллелепипеда Френеля, сделанного из стекла с n =1,7 .

Решение

Луч света, проходя через параллелепипед Френеля, испытывает двукратное полное внутреннее отражение на границе «стекло – воздух» (рис. 7.9). Угол θ выбирается таким, чтобы в выходящем луче разность фаз 2ϕ = ϕp −ϕs = π2 , т.е. при однократном отра-

жении: ϕ= π4 .

Рис.7.9.Прохождение луча света через параллелепипед Френеля

Используя формулу (7.33), получим уравнение:

Задача 7.2.10. Каким должен быть минимальный показатель преломления у материала для параллелепипеда Френеля, чтобы обеспечить на выходе сдвиг фаз между р- и s-компонентами

ϕ = ϕp −ϕs = 3π2 ?

Решение

Согласно (7.34), для материала с показателем преломления n при однократном полном внутреннем отражении на границе с воздухом разность фаз не может превышать значения:

(Материалов с таким значением n в оптическом диапазоне нет!)

Ответ: n = 5,028

7.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 7.3.1. Под каким углом нужно отразить свет с естественной поляризацией от кристалла каменной соли (n = 1,544), чтобы получить максимальную степень поляризации отраженного света?

Ответ: 57°05′.

Задача 7.3.2. Узкий пучок неполяризованного света падает под углом Брюстера на стопу Столетова, состоящую из N толстых плоскопараллельных стеклянных пластин. Найти степень поляризации прошедшего света, если N = 1, 2, 5 и 10.

Ответ: 0,16, 0,31; 0,67 и 0,92.

Задача 7.3.3. При каких условиях луч света, падающий на боковую грань прозрачной изотропной призмы с преломляющим углом 60°, проходит через нее без потерь на отражение?

Ответ: 1) свет поляризован в плоскости падения; 2) показатель преломления призмы равен 1,73.

Задача 7.3.4. Неполяризованный свет падает под углом 45° на поверхность стекла с показателем преломления 1,53. Найти степень поляризации отраженного света.

Ответ: 0,82.

Задача 7.3.5. Найти степень поляризации луча, прошедшего через стеклянную пластинку с показателем преломления 1,5 при углах падения 20, 45, 60 и 80°, если изначально свет не был поляризован.

Ответ: −0,015; −0,091; −0,176; −0,402.

Задача 7.3.6. Какой показатель преломления должен быть у вещества, чтобы в результате однократного полного внутреннего отражения на его границе с воздухом линейно-поляризованный свет с азимутом поляризации 45° преобразовывался в циркулярнополяризованный?

Ответ: ≈ 2,41.

Задача 7.3.7. При каком показателе преломления n среды коэффициент отражения неполяризованного света достигает минимума для углов падения от 0 до 90°?

Ответ: n > 3,732.

Литература

1. Ландсберг Г.С. Оптика. − М.: Физматлит, 2003, главы

XXIII,XXIV, XXV.

2.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика. − М.: Наука, 1980, глава V.

3.Матвеев А.Н. Оптика. − М.: Высш. шк., 1985, §§16,17.

4.Бутиков Е.И. Оптика. − М.: Высш. шк., 1986,раздел 3.

5.Гинзбург В.Л., Левин Л.М., Сивухин Д.В., Четверикова Е.С., Яковлев И.А. Сборник задач по общему курсу физики. В 5 т.

Кн. IV. Оптика/ Под ред. Д.В.Сивухина. − М.: ФИЗМАТЛИТ;

ЛАНЬ, 2006, §6.

6. Сборник задач по общему курсу физики: Учеб. пособие: Для вузов. В трех частях. Ч. 2. Электричество и магнетизм. Оптика./ Под ред. В.А.Овчинкина. − М.: Изд-во МФТИ, 2000, §2.

7.Иродов И.Е. Задачи по общей физике. − М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006, §5.4.

8.Ильичева Е.Н., Кудеяров Ю.А., Матвеев А.Н. Методика

решения задач оптики/ Под ред. А.Н.Матвеева − М.: Изд-во Моск.

ун-та, 1981, раздел III.

Глава 8

ДИСПЕРСИЯ СВЕТА. ЗАВИСИМОСТЬ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ И КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ ОТ ЧАСТОТЫ. ФАЗОВАЯ И ГРУППОВАЯ СКОРОСТИ

8.1. Теоретическое введение

.

Как уже отмечалось в гл. 2, в однородной линейной изотропной среде могут распространяться плоские монохроматические электромагнитные волны:

причем частота ω и волновой вектор k связаны друг с другом дисперсионным соотношением:

– комплексная (в общем случае) диэлектрическая проницаемость среды, а

–комплексный показатель преломления.

Всвязи с тем, что D0 =ε0εE0 , модуль проницаемости

определяет амплитуду электрической индукции D0, а

характеризует разность фаз между D и Е (δ – так называемый угол диэлектрических потерь).

В соответствии с (8.3) волновой вектор k может быть представлен в виде:

где k′ = ωc n′ и k′′ = ωc n′′.

С учетом (8.5), уравнение плоской волны, (например, для Е) принимает вид:

Согласно (8.7), плоская монохроматическая волна распространяет-

ся в направлении k′ с фазовой скоростью

где n′− показатель преломления.

Вектор k″ указывает направление максимального изменения амплитуды волны. При n′′ = cωk′′ > 0 амплитуда волны экспоненци-

ально уменьшается в направлении еk′, поэтому n″ иногда называют

показателем поглощения.

Поскольку интенсивность I волны в среде пропорциональна квадрату ее амплитуды, то в случае n′′> 0:

где α = 2 ωс n′′– коэффициент поглощения, не зависящий от интен-

сивности световой волны (закон Бугера). В соответствии с (8.3) и (8.4):

n′ - in′′ = ε′ - iε′′ ,

– дисперсионная формула Коши, которая хорошо описывает дисперсию газов в видимой и ИК-областях спектра.

Для плотных сред в области прозрачности ( ω−ω0 >> Γ ) за-

кон дисперсии хорошо описывается формулой Лоренца–Лоренца:

Поскольку фазовая скорость (8.7) зависит от показателя преломления n′, то в среде с дисперсией n = n(ω):

А это значит, что при распространении светового импульса конечной длительности в среде с дисперсией его форма может существенно искажаться.

Для узкополосных сигналов в прозрачных средах (n″<<1) вводится понятие групповой скорости:

которая характеризует скорость движения огибающей волнового пакета (а следовательно, и скорость переноса волной энергии), которая, вообще говоря, отличается от фазовой скорости (см. рис. 8.2). Кроме того, с позиций формализма (8.17) в области ано-

мальной дисперсии (dndω< 0) групповая скорость u должна быть

больше скорости света в вакууме. Однако из-за сильного поглощения света в этой области понятие групповой скорости теряет смысл.

В случае плазмы дисперсионное уравнение, с учетом (8.15) и (8.16), имеет вид:

c2k 2 = ω2 −ω2p .

Рис. 8.2. Зависимости нормированных υ и u от частоты ω