phil_RF_FF_MMF_VMK

41

12.Клини С., Весли Р. Основания интуиционистской математики с точки зрения теории рекурсивных функций. Пер. с англ. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978.

13.Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Нестандартные методы анализа. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990.

14.Мак-Лейн С. Математическая логика – ни основания, ни философия // Методологический анализ оснований математики / Отв. ред. М.И. Панов.

М.: Наука, 1988.

15.Методологический анализ оснований математики / Отв. ред. М.И. Панов.

М.: Наука, 1988.

16.Панов М.И. Методологические проблемы интуиционистской математики.

М.: Наука, 1984.

17.Перминов В.Я. Философия и основания математики. М.: ПрогрессТрадиция, 2001.

18.Расѐва Е., Сикорский Р. Математика метаматематики. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972.

19.Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. М.: Наука,

1983.

20.Тростников В.Н. Конструктивные процессы в математике (философский аспект). М.: Наука, 1975.

21.Фреге Г. Основоположения арифметики: Логико-математическое исследование о понятии числа. Томск: Водолей, 2000.

22.Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. Пер. с англ.

М.: Мир, 1966.

23.Шанин Н.А. Вступительная статья. О рекурсивном математическом анализе и исчислении арифметических равенств Р.Л. Гудстейна // Гудстейн Р.Л. Рекурсивный математический анализ. Пер. с англ.

А.О. Слисенко под ред. Г.Е. Минца. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,

1970. § 5. С. 43-52.

24.Яновская С.А. Методологические проблемы науки. Под общ. ред. И.Г. Башмаковой, Д.П. Горского, В.А. Успенского. Закл. ст.

Б.В. Бирюкова, О.А. Борисовой. Изд. 2-е. М.: КомКнига, 2006.

Тема VI. Культурное значение математики

25. Познавательное и эстетическое значение математики

Инструментально-прагматическое и познавательно-реалистическое значение математики. Математика как историческое (гуманитарное) знание.

Мировоззренческое и познавательное значение математического (числового) дуализма.

Математическое понятие прекрасного у платоников и пифагорейцев. Эстетическое значение математики.

Математика в изобразительном искусстве и музыке.

42

26. Мировоззренческое и этическое значение математики

Сакральный (этический) и профанный образы математики. Н.В. Бугаев, В.Н. Муравьѐв, П.А. Флоренский, И.Р. Шафаревич об этическом значении математики.

Значение универсальности математики в обосновании еѐ этического характера. Актуальность этического идеала математики.

Литература

1.Бугаев Н.В. Математика и научно-философское миросозерцание // Философская и социологическая мысль. К.: Наукова думка, 1989. № 5.

С. 85-93.

2.Вейль Г. Континуум. Критические исследования по основаниям современного анализа // Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. С. 93-168.

3.Вейль Г. О символизме математики и математической физики // Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.

С. 55-69.

4.Катасонов В.Н. Метафизическая математика XVII века. М.: Наука, 1993.

5.Катасонов В.Н. Боровшийся с бесконечным. Философско-религиозные аспекты генезиса теории множеств Г. Кантора. М.: Мартис, 1999.

6.Флоренский П.А. Введение к диссертации «Идея прерывности как элемент миросозерцания» // Историко-математические исследования. Вып. ХХХ. Отв. ред. А.П. Юшкевич. М.: Наука, 1986.

7.Флоренский П.А. Итоги // Флоренский П.А., св. Сочинения. В 4 т. Т. 3(1) / Сост. и общ. ред. игумена Андроника (А.С. Трубачева), П.В. Флоренского, М.С. Трубачевой. М.: Мысль, 1999. С. 364-372.

8.Флоренский П.А. О символах бесконечности // Флоренский П.А., св. Сочинения. В 4 т. Т. 1 / Сост. и общ. ред. игумена Андроника (А.С. Трубачева), П.В. Флоренского, М.С. Трубачевой. М.: Мысль, 1994. С. 79-128.

9.Флоренский П.А. О типах возрастания // Флоренский П.А., св. Сочинения. В 4 т. Т. 1 / Сост. и общ. ред. игумена Андроника (А.С. Трубачева),

П.В. Флоренского, М.С. Трубачевой. М.: Мысль, 1994. С. 281-317.

10.Флоренский П.А. Symbolarium (Словарь символов) // Флоренский П.А. Сочинения. В 4 т. Т. 2. Сост. и общ. ред. игумена Андроника (А.С. Трубачева), П.В. Флоренского, М.С. Трубачева. М.: Мысль, 1996. С. 564-590.

11.Хофштадтер Д. Гѐдель, Эшер, Бах: Эта бесконечная гирлянда. Пер. с англ. М.А. Эскиной. Самара: Бахрах-М, 2001.

12.Шафаревич И.Р. О некоторых тенденциях развития математики. (Лекция по случаю вручения Хейнемановской премии Геттингенской Академии наук) // Шафаревич И.Р. Путь из-под глыб. М.: Современник, 1991.

43

VII. Общие рекомендации и формальные требования к подготовке реферата

1.Своевременная сдача реферата является необходимым условием для внесения имени аспиранта (соискателя) в приказ, в соответствии с которым он допускается к экзамену на кандидатский минимум по философии. Бумажный машинописный вариант реферата необходимо передать в руки проверяющего (С.М. Антакова) до 1 мая. Передача реферата через посредников увеличит риск его потери.

2.Проверяющий пользуется электронной версией реферата при его чтении, а бумажная версия (распечатка) необходима во время экзамена. Электронная версия в формате Microsoft Word посылается по адресу santfil@bk.ru.

3.Реферат должен иметь титульный лист с годом сдачи экзамена, названием (темой), именем (ФИО) автора, вузом (ННГУ или др.) и – обязательно! – его факультетом (Физический, радиофизический,

механико-математический, ВМК или др.) Другая информация на титульном листе (кафедра, руководитель и др.) только мешает проверяющему и замедляет поиск нужного реферата среди прочих рефератов.

4.Страницы реферата должны быть пронумерованы. В начале реферата должен быть его план (содержание) с указанием страниц. Текст должен быть разделен рубриками, соответствующими пунктам плана.

5.В конце реферата необходимо поместить список использованных источников, бумажных (с выходными данными в соответствии с библиографическими правилами оформления списка литературы) и интернетовских (с указанием веб-адреса). Не рекомендуется придумывать список литературы, в частности, издательства и годы издания. Не рекомендуется скрывать имя подлинного автора текста и приводить лишь ту литературу, которую указал подлинный автор. Проверяющий положительно оценит честность по отношению и к нему, и к подлинному автору.

6.Объем реферата не должен быть меньше 1 печатного листа, то есть 40000 (40 тысяч) печатных знаков, включая пробелы между словами. Для такого количество знаков автору реферата может потребоваться разное число страниц в зависимости от величины шрифта и межстрочного интервала. Рекомендуется использовать шрифт номер 14 и интервал 1. Число печатных знаков с пробелами можно узнать для документа Microsoft Word, если активировать кнопку «Сервис» на панели инструментов, а затем кнопку «Статистика».

7.Тема реферата может быть выбрана аспирантом (соискателем)

самостоятельно и по желанию согласована с проверяющим (С.М. Антаковым). Тема реферата должна быть интересна автору и по возможности соответствовать направлению его диссертационной работы. В частности, реферат может быть посвящѐн истории науки или той научной области, в которой специализируется автор.

44

8.Реферат надо писать в научном, а не публицистическом, сатирическом, (слишком) популярном, фельетонном и т.п. стиле.

9.Реферат может представлять собой компиляцию из нескольких источников. В любом случае это должна быть переработка нескольких источников в нечто концептуально (идейно) и стилистически целое. Не рекомендуется брать чужую статью и выдавать еѐ за свой реферат. Написание реферата требует самостоятельности и творчества, степень которых зависит от ресурсов автора. Однако раз в несколько лет попадается реферат, потрясающий зрелостью, эрудицией или оригинальностью мышления автора и при том вполне самостоятельный.

10.Рекомендуется не ограничиваться интернетовскими источниками, которые часто однообразны (и уже надоели проверяющему), сомнительны или низкопробны. Книга еще не умерла, обращайтесь к услугам библиотек!

11.Примерные темы рефератов вместе с заведомо неполными указаниями на литературу приведены в следующем разделе. В большинстве случаев данные там названия надо изменить, сделав их более развѐрнутыми

иадекватными действительному содержанию. Дополнительную литературу можно найти в разделах «Программа и литература…» данного документа, в библиотечных каталогах, в Интернете и библиографических ссылках, содержащихся в уже найденных источниках.

12.Реферат оценивается по 2-градусной шкале («зачтѐно – незачтѐно»), но снабжается рецензией, которая может выражать более дифференцированные оценки. Реферат, изготовленный на свежую и интересную тему, искупает почти все отступления автора от данных выше рекомендаций.

13.В качестве поучительного примера привожу рецензию на реферат К. (2010), который не был зачтѐн:

Реферат производит крайне удручающее впечатление.

Во Введении всюду «интуицизм» вместо «интуиционизм», к тому же это слово изготовителем реферата (К.) не склоняется («Согласно интуицизм, точная математическая мысль основывается на …»). Но в философии математики соответствующее направление называют только интуиционизмом, да и изготовитель именно последний термин использовал в названии реферата и в основной его части. Искажено имя основателя интуиционизма (Врауэр вместо Брауэр). Порядок слов неестественен: «…не признающей исключенного третьего закон». Таким образом, Введение представляет собой словарную статью, не только не обработанную, но, как видно, даже не прочитанную изготовителем реферата.

Предложение «для любого вещественного числа x найдѐтся натуральное число n, равное 1 в случае x = 0, и равное 2 в случае » не закончено, что затрудняет понимание дальнейшего рассуждения.

Примеры неряшливости и небрежения: xk вместо xk;

«суждение вида может и не быть истинным, если проблема A не решена к настоящему времени». Какого вида? Там должна быть формула-картинка, но, вероятно, при копировании текста она исчезла, а автора реферата это нисколько не

45

заботит. То же надо сказать по поводу следующего предложения, в котором формула (как и все формулы, начиная с указанного места) искажена до неузнаваемости:

«В классической логике суждение существования можно получить из отрицания (приведение к противоречию) универсального суждения, пользуясь общезначимой формулой Ø"x a(x) É$x Øa(x)».

В тексте большое количество двух и более слившихся (не разделѐнных пробелом) слов, что указывает на то, что изготовитель реферата не удосужился прочитать его.

Объѐм реферата меньше требуемого на 25%. При этом изготовитель искусственно довѐл его до нормы, введя более 10 тысяч знаков пробела.

Таким образом, реферат производит впечатление бесформенной совокупности случайно подобранных в интернете и стилистически разнородных фрагментов. Он не создаѐт хотя бы краткой, но целостной картины интуиционизма, его исторического контекста. И косвенно он говорит о безответственности его автора, о его полным пренебрежении к читателю.

К. вставил в свой текст научную статью М.М. Новосѐлова, почему-то представленную организатором сайта как готовый студенческий реферат. При этом К. отверг содержавшееся в его конце предупреждение: «Уважаемые пользователи нашей Коллекции! Мы напоминаем, что наша коллекция общедоступная. Поэтому может случиться так, что ваш одногруппник также нашел эту работу. Поэтому при использовании данного реферата будьте осторожны. Постарайтесь написать свой - оригинальный и интересный реферат или курсовую работу. Только так вы получите высокую оценку и повысите свои знания».

По указанным причинам реферат не зачтѐн.

VIII. Примерные темы рефератов и рекомендации по их содержанию

1.Эстетическое значение математики.

2.Музыка и математика.

3.Математическая теория музыки. Что такое «хорошо темперированный клавир»?

Можно ли сказать, что в век Баха математическая теория музыки развивалась и направлялась практическими интересами?

4. Математическая теория музыки. Додекафония.

Можно ли сказать, что в ХХ веке математическая теория музыки развивалась из собственных (эстетических, выразительных, теоретических) потребностей?

5. Математика и поэтика.

Математика и стихосложение. Математика и теория поэзии.

6. Математика в изобразительном искусстве. Невозможные фигуры, лента Мѐбиуса, бутылка Клейна и т.п.

Некоторые источники:

http://imp-world-r.narod.ru/; Раков Д. Невозможная реальность. // Наука и жизнь. 2003. № 2; Раков Д. Парадоксальный мир невозможных объектов // Мир ПК. 2003. № 9; Рутесвард О. Невозможные фигуры. М.: Стройиздат, 1990; Касперски, Крис. Возможные невозможные фигуры // Хакер. № 107. С. 107-136; Невозможный Мир // Интернет-сайт: http://im-

46

possible.info. Смирнов С.Г. Прогулки по замкнутым поверхностям. М.: МЦНМО, 2003 (Серия: «Библиотека ,,Математическое просвещение―». Вып. 27); Франсис Дж. Книжка с картинками по топологии: Пер. с англ. М.: Мир, 1991.

7.Математика в изобразительном искусстве. Фракталы.

8.Этическое значение математики.

9.Математическая лингвистика.

Когда-то математическая лингвистика была популярна, она давала обещания, ею интересовалось наше прогрессивное общество (средний культурный и интеллектуальный уровень которого был в ту пору значительно выше). Каково современное состояние математической лингвистики? Исполнились ли связанные с ней ожидания?

10. Математика и история.

Известны случаи, когда историки с успехом используют математику в решении своих задач. В советское время на эту тему была издана по крайней мере одна (популярная, но достойная) книжка.

11.Историко-математические фрагменты «Заката Европы» О. Шпенглера (представления о времени, пространстве и числе в различных цивилизациях).

12.Значение ноля в математике.

Ноль как цифра и как число. История ноля. Позиционная система без ноля (Р, Шмульян, или Р. Смаллиан), еѐ достоинства и недостатки.

13. Сравнение двоичного и троичного компьютеров.

Современный компьютер основан на бинарной технологии (два устойчивых состояния физической системы), реализующей бинарную систему счисления. Однако, известны попытки построения компьютера, использующие три устойчивых состояния физической системы и реализующие троичную систему счисления. В чѐм преимущества и недостатки троичного компьютера по сравнению с двоичным?

14. Философия интерфейса.

Понятие интерфейса не является философской категорией или хотя бы известным в философии понятием (если не считать «философию» программирования, которая, вероятно, не более содержательна, чем «философия» торговли нетбуками и прочие подобные приземлѐнно-прикладные «философии»). Поэтому желательно было бы дать общее определение интерфейса для философа, вероятно, всего лишь «пользователя», неискушѐнного в области создания компьютерной техники или программирования. Разумеется, и философ интуитивно понимает, что такое интерфейс (ведь «фейс» – это «лицо», и тогда «интерфейс» – «нечто межличное», разделяющее или соединяющее два лица, что, в силу английского значения ―face‖, нельзя переводить как «разделяющее или соединяющее две личности»). И, разумеется, даже необразованный философ поймѐт, что такое «интерфейс» по-программистски, однако явное определение интерфейса было бы очень уместным.

Интерфейсом в технике называют также устройства, согласующие работу по меньшей мере двух разных устройств, ни одно из которых не является человеком. Адаптер, модем, карданный вал и червячная передача – тоже примеры интерфейса. Как и переводчик с русского языка на английский И, если принять широкое определение интерфейса, то дом и культура вообще – это интерфейс, адаптирующий человека к окружающей среде. Вот на каком – высоком! – уровне начинается собственно философия (в частности, «философия интерфейса»), изучение которой требуется от аспиранта.

Но что даст философии культуры сравнение культуры с интерфейсом? Могут ли знания о проектировании интерфейсов обогатить эту философию? Нет, скорее, наоборот, но это при условии, что специалист приобщится к подлинной философии, которую он, скорее всего, считает чем-то непонятным и ненужным.

49

Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. 3-е изд., доп. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. Дьедонне Ж. Абстракция и математическая интуиция // Математики о математике. М.: Знание, 1982. С. 6-21. Дьедонне Ж. Замечания об алгебре, топологии и анализе // Современные проблемы математики. М.: Знание, 1980. С. 5-20. Коблиц Н. р-Адические числа, р-адический анализ и дзета-функции. М.: Мир, 1982.

39. Жизнь и творчество математика К. Гензеля.

р-Адические числа – единственно возможную альтернативу иррациональным числам – изобрел К. Гензель. Казалось бы, за это одно он должен быть прославлен как мало кто другой из математиков. Однако в обширном «Биографическом словаре», входящем в состав «Математического энциклопедического словаря» (М., 1988), нет ни Гензеля, ни кого-либо похожего (Хензеля, Ганзеля, Ханзеля, Гэнзела, Хэнзела). Не упоминается он и в именном указателе кн.: Александрова Н.В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: ЛКИ, 2007. 246 с.

40. р-Адические числа и теорема Геделя о неполноте.

Паршин А.Н. Размышления над теоремой Геделя // ВФ. 2000. № 6. С. 92-109. Вейль Г. Математическое мышление / Пер. с англ. и нем. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989 (комментарии Паршина). Паршин А.Н. Путь: математика и древние миры. М.: Добросвет,

2002.

41. Число как функция.

Паршин А.Н. Путь: математика и древние миры. М.: Добросвет, 2002.

42. Дополнительность и симметрия.

Паршин А.Н. Путь: математика и древние миры. М.: Добросвет, 2002.

43.Принцип двойственности в математике, логике, физике и философии (или хотя бы в математике и логике). Двойственность как симметрия.

44.«Мнимости в геометрии» П.А. Флоренского и «Эйнштейн и религия» В.Г. Богораза (Тана).

Седых О.М. «Близко ли, далеко ли…»: о геометрическом смысле маршрутов сказки и литературы хождений // Философия математики: актуальные проблемы. Материалы Международной научной конференции 15–16 июня 2007. М.: Изд-во Савин С.А., 2007. С. 219-220. (Есть в Интернете). Паршин А.Н. Путь: математика и древние миры. М.: Добросвет,

2002.

45. Историческое развитие понятия функции.

Демидов С.С. Возникновение теории дифференциальных уравнений с частными производными // Историко-математические исследования. Вып. ХХ. М.: Наука, 1975. С. 204220. Демидов С.С. О понятии решения дифференциальных уравнений с частными производными в споре о колебании струны в XVIII веке // Историко-математические исследования. Вып. ХХI. М.: Наука, 1976. С. 158-182. Демидов С.С. Предыстория девятнадцатой проблемы Гильберта // История и методология естественных наук. Вып. XI. М.: Изд-во МГУ, 1971. С. 69-79. Лузин Н.Н. Функция (в математике) // Математический энциклопедический словарь. М.: Сов. энциклопедия, 1988. С. 797-804. Медведев Ф.А. Очерки истории теории функций действительного переменного. М., 1975. Юшкевич А.П. О развитии понятия функции // Историко-математические исследования. Вып. ХVII. М.: Наука, 1966.

С. 123-150. Юшкевич А.П. К истории спора о колеблющейся струне (Даламбер о применении «разрывных» функций) // Историко-математические исследования. Вып. ХХ. М.: Наука, 1975. С. 221-232.

46.Развитие понятия алгоритма.

47.История идей программирования и языков программирования. Ретроспектива и перспектива.

50

Избежать технической узости и сухости в раскрытии этой темы. Использовать достойные популярные обзоры вроде тех, что содержатся в журнале «В мире науки» (―Scientific American‖).

48. Доказательство в математике.

Не ограничиваться надоевшей статьей: Успенский В.А. Семь размышлений на темы философии математики // Закономерности развития современной математики: Методологические аспекты / Отв. ред. М.И. Панов. М.: Наука, 1987. С. 106-154 (есть в Интернете).

49. Тезис Черча (включая машины Поста, Тьюринга, нормальные алгорифмы Маркова и т.п.) Физическое обобщение тезиса Черча.

Дойч Д. Структура реальности. Пер. с англ. Н.А. Зубченко. Под общ. ред. В.А. Садовничего. Ижевск: Регулярная и стохастическая динамика, 2001. Дойч Д. Квантовая теория, принцип Чѐрча-Тьюринга и универсальный квантовый компьютер // Квантовый компьютер и квантовые вычисления. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 1999. С.

157-189.

50. Жизнь и творчество Алана Тьюринга.

Философия математики (и не только она) многим обязана творчеству Тьюринга, а в его биографии были необычные и таинственные моменты.

51.Философско-математические и аспекты детерминированного хаоса (включая закон Мандельброта).

52.Краевые (начальные и граничные) условия и законы природы: физический и метафизический смысл их разделения.

Вигнер Е. Этюды о симметрии. Пер. с англ. Ю.А. Данилова. Под ред.

Я.А. Смородинского. М.: Мир, 1971. 318 с. Турсунов А. О соотношении законов и краевых условий в структуре физического знания // Физическая теория. М., 1980. С. 400-419. Турсунов А. Основания космологии: Критические очерки. М.: Мысль, 1979. Очерк пятый: Природа космологического знания: законы и краевые условия.

53. Вариационные (экстремальные) принципы физики.

Вариационной формулировки законов классической механики приводят к необходимости переосмысления физического детерминизма. При вариационном подходе получается (хотя бы видимость того), что природа заранее знает все возможные пути и цели, заранее вычисляет оптимизируемый (минимизируемый или максимизируемый) параметр каждого пути (оценивает пути) и затем выбирает оптимальный (экстремальный) путь. Не превращает ли такое истолкование природу в субъект свободного (именно в логическом, гегелевском смысле) выбора, а физический детерминизм – в логическую необходимость?

54. «Арифметическая катастрофа» (Рассел) – необходимость аксиомы бесконечности (требования бесконечного числа индивидов в мире) – как пункт критики логицистской программы обоснования математики.

Рассел Б. Введение в математическую философию. Пер. с англ. М.: Гнозис, 1996.

55.Формализм в основаниях математики.

56.Интуиционизм.

57.Апории Зенона и «сверхзадачи».

Вейль Г. О философии математики. Сборник работ. Пер. с нем. А.П. Юшкевича. Предисл. С.А. Яновской. М.; Л.: ГТТИ, 1934. Гарднер М. А ну-ка, догадайся! М.: Мир, 1984. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики.

М., 1979.

58.Апории Зенона и теорема Гѐделя о неполноте.

59.Случайность в теории чисел и теорема Гѐделя о неполноте.