Лекция 02 Кинематика криволинейного движения
..pdf
Кинематика криволинейного движения.
Рассмотрим материальную точку в системе отсчёта. Она имеет 3 координаты.
Рис. 1.
Часы идут, абсолютные, ни от чего не зависимые. Положение точки A описывается радиус-вектором из начала координат и
временем, т.е. 4 компонентами. Материальная точка движется, т.е. |
|||||
изменяет свое положение по отношению к системе отсчёта, |
|||||
|
|
|
|
|
|
следовательно r |
r (t) . |
|
|
|
|
rx |
rx (t) , т.е. проекция по оси x меняется со временем. |
||||
ry |
ry (t) , т.е. проекция по оси y меняется со временем, в общем |
||||
случае другим образом. |
|
|
|
||
rz |
rz (t) , аналогично. |
|
|
|
|
|
Проекцией |
|
|
|
|
|
r на оси называется координата конца r . |
||||
Следовательно |
|
|
|
|
|
x = x (t) |
|
|
|
|
|
y = y (t) |
|
|
|
|
|
z = z (t) |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим два момента времени t и (t + |
t). Построим |
|||
|
|
|
|
|
|
разницу векторов r(t t) r(t) r |
|
||||
|
Вектор |
|
называется перемещением материальной точки за |
||||||
|
r |
||||||||
время |
t. Определение не учитывает, как в течение времени t |
||||||||
двигалась материальная точка. |
|||||||||
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
||
r |
|
|
) - средняя скорость материальной точки на |
||||||
|
v |
ср ( |
|
, |
|
, |
|
||
t |
t |
t |
t |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
интервале от t до (t + Δt). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
r |
|
|
- мгновенная скорость материальной точки в момент |
|||||
t |
v(t) |
||||||||
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
времени t. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Геометрическое место точек концов r материальной точки |
|||||||
называется её траекторией. Посмотрим, как направлен вектор мгновенной скорости по отношению к траектории.
Рис.2.
Из определения следует, что вектор
коллинеарен с
vср
вектором перемещения. Из определения мгновенной скорости следует, что вектор мгновенный будет параллелен соответствующей хорде дуги, которая стремится к нулевой, иными
словами, стягивает нулевую дугу, т.е. направлен по касательной. |
|||||
|
|
|
|
|
, который направлен по касательной к |
Введём единичный вектор |
|||||
дуге в сторону движения, тогда |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
v мгн |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
v v |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Предел |
|
|
|
|
|
|
можно записать как производную. |
||||||||||
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
v(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
v |
|
(t) |
drx |
|
|
dx |
|
|
|
||||||||||
x |
|
dt |
dt |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
v |
|
(t) |
|
|
dry |
|
|
dy |
|||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
dt |
|
|
|
dt |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
v |
|
(t) |
drz |
|
|
|
dz |
|
|||||||||||
z |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Рассмотрим некоторую дугу траектории, определённую формой и граничными точками.
Рис.3.
Будем уменьшать длину дуги, она всё более будет похожа на окружность. Уменьшая длину дуги, более точно можно приблизить траекторию к окружности. Любой участок траектории можно представить сколь угодно точно в виде дуги окружности. Дуга окружности характеризуется радиусом, т.е. к любой точке траектории можно поставить в соответствие число, равное радиусу окружности, которой представляются данный кусок траектории.
Это число – радиус кривизны траектории. Кроме движения по |
||
окружности и прямой линии радиус кривизны разный. |
|
|
|
|
|
R R(r ) |
|
|
R = R (t) |
|
|
|
|
|
Любое движение можно описать с помощью |
v мгн и r |
в |
|
кр. |
|
данной точке. Рассмотрим два момента времени t и (t + Δt).
v v(t t) v(t) .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
t |
acp |
[t; t |
|
t] |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
t |
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
v v |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dv |
|
|
|
d (v ) |
|
d[v(t) |
(t)] |
|
|||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dt |
|
|
dt |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- переменные. |
|
|
|
|
Длина вектора скорости и вектор |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Продифференцируем произведение двух функций по времени: |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
dv |
|
|||||||||
a v(t) * |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
dt |
dt |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Слагаемое ( v(t) * |
d |
|
) отвечает за кривизну траектории, |
||||||||||||||
|
|
|
dt |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
слагаемое ( dv ) отвечает за неравномерность движения. Ускорение
dt
представлено в виде суммы двух ускорений. |
|||
|
dv |
|
|
|
a - тангенциальное ускорение – вектор, который |
||
|
|
||
dt |
|||
|
|
||
направлен по касательной к траектории. Рассмотрим компоненту
v(t) * ddt .
|
|
|
Рис.4. |
|
|
(t t) (t)
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
cos |
2 0 |
90 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
d |
|
|
|
, т.е. компонента v(t) * |
d |
- направлена по радиусу кривизны |
|||||
v(t) |
|
|
|
|
|
|
||||||
dt |
|
|
dt |
|||||||||
– нормальное ускорение. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
||||
v(t) * |
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
||
dt |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Полное ускорение имеет вид |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a a |
an |
|
|
|
|
|
|
|||||
Рис.5.
Введем систему координат в данной точке с двумя осями (два единичных вектора). Очень удобно описывать движение частицы в системе координат, когда одна ось совпадает с касательной, а другая с радиусом кривизны – естественная система координат. Она меняется по траектории, но если надо рассмотреть движение в точке или около какой-то точки, то она подходит.