Лекция 13 Закон сохранения момента импульса
.pdf
dLdt M
Пусть
M 0 ddtL 0
L const
Закон сохранения момента импульса.
M i , действующий на материальную точку равен 0.
Если сумма моментов сил, действующих на материальную точку равна 0, то момент импульса материальной точки сохраняется.
Уравнение моментов должно быть записано в проекциях на оси. Закон означает, что сохраняются все проекции импульса.
Может возникнуть ситуация, когда сумма моментов сил не равна 0, но равна 0 сумма проекций моментов сил на какую-то ось,
тогда общий момент импульса не сохраняется, а сохраняется лишь |
|
проекция момента импульса на эту ось. |
|
|
|
M i |
0 не означает, что Fi 0 |
Рис. 1.
|
|
Рассмотрим два шара на проволочке. |
|
|
|
|
|
Fi |
0 (центр масс покоится), но M i 0 |
||
|
|
|
- момент импульса системы не сохраняется, импульс |
M |
Fl |
||
сохраняется.
Рис. 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fi 0 2F |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
M i |
0 |
(относительно точки O). |
|||||
|
Если |
|
|
|
|
|
|
F F |
|
|
|
|
|
|
|
r1 r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M1 M 2 , но |
M1 |
M 2 |
M i |
0 |
- шарики будут ускоренно двигаться |
||
параллельно себе, импульс не сохраняется, момент импульса сохраняется.
Теорема площадей. Рассмотрим точку O. Относительно неё движется
материальная точка m, в момент времени t она характеризовалась радиус-вектором.
Рис. 3.
Рассмотрим промежуток времени dt и посмотрим, куда сместится эта точка. Посчитаем площадь полученного треугольника.
dS 12 rv sin dt
Введём вектор площади, модуль которого равен площади и направлен по нормали к площади.
|
|
1 |
|
|
|
||
dS |
|
|
|
[rv ]dt |
|
||
2 |
|
- секториальная скорость - скорость изменения S по |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
dS |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
[rv ] |
|
||
dt |
2 |
|
|||||
времени. |
||||
|
|
|
||
2m |
dS |
|
||
L |
|
|||
dt |
||||
|
|
|||
Секториальная скорость однозначно связана с моментом импульса. Рассмотрим частный случай. Пусть тело движется под действием центральной силы, источник которой находится в точке
O, тогда момент силы всегда равен нулю, то момент импульса
сохраняется, то dSdt const , следовательно, S представляет собой
часть плоскости.
Уравнение моментов материальной точки, вращающейся вокруг неподвижной оси.
Рис. 4.
O - проекция оси, r - расстояние до оси.
L постоянен по направлению, т.к. ось неподвижна.
z : dLdt M
L mrv sin 90 dL d (mrv) dt dt
r, m const
mr 2 d M dt
mr 2 M mr 2 I I M
mrv
M d (mr 2 ) dt
I - момент инерции материальной точки.
Если M i 0 , то
I = 0
const
Fi 0 , импульс не сохраняется, момент импульса сохраняется
M d (mr2 ) dt
Если M = 0,тогда mr2 = const.