Темы по ТФКП

Конформные отображения:

1. Сфера Римана. Утверждение о том, что окружностям плоскости соответствуют окружности сферы. Свойство сохранения углов между кривыми.

2. Расширенная комплексная плоскость, метрики (евклидова, на сфере)

3. Гомотопные кривые в области, гомотопия нулю, эквивалентность кривых.

4. Предел последовательности комплексных чисел, функции комплексного переменного, однолистность, пределы и непрерывность функций, непрерывность вплоть до границы.

5. Дифференцируемость функций комплексного переменного. Условие Коши-Римана.

6. Геометрический смысл производной. Гармоничность.

7. Конформные отображения. Дробно-линейные, их свойства (свойство сохранения симметрии). Степенные, функция Жуковского, показательная функция.

Интегралы:

8. Интегралы от функций комплексного переменного. Связь с криволинейными интегралами 1 и 2 рода. Свойства.

9. Интегральная теорема Коши. Обобщенная, теорема для конечносвязной области.

10. Первообразная. Теорема о первообразной.

11. Интегральная формула Коши.

(Вообще, семестр кончился где-то здесь, но формально должны были интегралы закончить)

12. Теорема о среднем, принцип максимума (минимума) модуля.

13. Интегралы типа Коши. Теорема об интеграле типа Коши. Следствие о бесконечной дифференцируемости голоморфной функции. Теорема Мореры.

Регулярные функции:

14. Ряды с комплексным общим членом. Функциональные ряды. Три теоремы (о непрерывности, интегрируемости, дифференцируемости суммы функционального ряда).

15. Степенные ряды. Особая точка суммы ряда. Теорема о единственности суммы степенного ряда. 1-я и 2-я теоремы Абеля.

16. Регулярные функции. Критерий регулярности. Неравенство Коши для коэффициентов. [Правило Коши].

17. *Нули регулярных функций. Порядок нулей.

18. Целые функции. Теорема Лиувилля, основная теорема алгебры.

Аналитические функции:

19. Теорема единственности. Аналитические продолжения, принцип аналитического продолжения.

20. Функции, аналитические на кривой, их свойства.

21. Аналитические функции. Понятие однозначных регулярных ветвей. Теорема о монодромии.

22. Аналитическая функция Ln z. *[Поверхности Римана].

23. * Особые точки аналитических функций. Точки ветвления.

Ряды Лорана. Особые точки регулярных функций.

24. * Ряды Лорана. Теорема Лорана.

25. * Изолированные особые точки однозначного характера. Определения, связь с рядами Лорана. Способы вычисления.

26. * [Мероморфные функции].

Вычеты и их применение.

27. Вычеты. Вычисление вычетов. Теорема о вычетах.

28. * Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов. Лемма Жордана.

29. Логарифмические вычеты. Принцип аргумента, теорема Руше.

Операционное исчисление

30. * Преобразование Лапласа. Понятие изображения, оригинала.

31. * Свойства оригиналов и изображений.

32. * Восстановление оригинала по изображению. [Условие существования оригинала].

33. * Применение операционного исчисления для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

* - то, чего не было на лекциях. [..] – не уверен, что будет вынесено на экзамен.