Гипербола

Гипербола ( Г ) – геометрическое место точек М на плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух заданных точек постоянен

- фокусы Г,

Если выбрать систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокусы, а ось ординат – через середину расстояния между фокусами, то уравнение Г запишется в виде

Свойства Г :

1. Симметрия относительно координатных осей и начала координат.

2. Гипербола имеет асимптоты, которые задаются уравнениями :

3. Эксцентриситет Г - параметр, характеризующий размах ветвей Г.

4. Директрисы Г – прямые Δ, заданные уравнением: .

Директориальное свойство Г:

Пусть точка ,r- расстояние от М до фокуса , d – расстояние от М до директрисы. Тогда

Парабола

Парабола ( П ) – геометрическое место точек М на плоскости, равноудаленных от фиксированной точки F ( фокуса П ) и прямой Δ ( директрисы параболы )

Если выбрать систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус и перпендикулярно директрисе, а ось ординат – через середину расстояния между фокусом и директрисой и параллельно директрисе, то уравнение П запишется в виде :

Свойства параболы :

1. Симметрия относительно оси абсцисс. Парабола расположена в верхней полуплоскости .

2. Фокальный параметр p задает размах ветвей параболы.

Приведение уравнения кривой 2-го порядка к каноническому виду

Общее уравнение кривой 2-го порядка имеет вид :

(1), где

Подходящим преобразованием поворота можно добиться того, чтобы в новых коородинатах коэффициентB' = 0. Тогда уравнение (1) запишется в виде :

( 2 )

С помощью преобразования вида уравнение ( 2 ) можно привести к одному их 3-х основных канонических типов :

I.

II.

III.

Классификация кривых 2-го порядка

В зависимости от соотношения знаков в коэффициентах уравнений основных канонических типов I-III , возникают следующие канонические уравнения:

1. Эллипс

2 Мнимый эллипс

3. Пара мнимых пересекающихся прямых

4. Гипербола

5. Пара пересекающихся прямых

6. Парабола

7. Пара параллельных прямых

8. Пара мнимых параллельных прямых

9. Пара совпадающих прямых

Заметим, что кривые 1-5 получаются I-го основного канонического типа, кривая 6 – из II-го, а кривые 7 - 9 - из III-го основного канонического типа.