Проекция вектора на ось

О. Ось – прямая, с заданным на ней направлением с помощью единичного вектора , орта оси. ( орт – вектор единичной длины ).

О. Проекция точки А на ось – основание перпендикуляра, опущенного из этой точки.

О. Вектор - проекция вектора на ось – вектор, где- проекции точекна ось.

О. Скалярная проекция ( или просто проекция ) вектора на ось- число, определяемое как:

Свойства проекции:

1)

2)

О. Угол между векторами - наименьший угол между этими векторами, отложенными из одной точки. Векторыназываются ортогональными (),если угол между ними равен π/2.

Т. ( О вычислении проекции )

Пусть - угол между векторами . Тогда

Скалярное произведение

О. Скалярное произведение векторов - число, определяемое как :

где - угол между векторами.

Из определения следует:

1) ( связь проекции и скалярного произведения )

2) ( выражение длины вектора через скалярное произведение )

3) ( выражение угла между векторами через скалярное произведение)

Свойства скалярного произведения.

1) -коммутативность

2) - линейность

3) - неравенство Коши-Буняковского

4) - неравенство треугольника

5) - критерий ортогональности

Пусть - ОНБ и,. Тогда

Векторное произведение

О. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой ( левой), если с конца вектора кратчайший поворот от к виден против (по ) часовой стрелке.

Свойства ориентации тройки векторов:

1. Ориентация тройки векторов не меняется при циклической перестановке.

2. Ориентация тройки меняется при перестановке двух векторов местами.

О. Векторное произведение векторов - вектор. Удовлетворяющий условиям :

1) , где- угол между

2)

3) - правая тройка.

Свойства векторного произведения:

1) - антикоммутативность

2) - линейность

3) , где-площадь параллелограмма, построенного на векторах , как на сторонах.

4) - критерий коллинеарности векторов.

Пусть - ОНБ и,. Тогда

Смешанное произведение

О. Смешанное произведение 3 –х векторов - число, определяемое как :.

Т1.( О геометрическом смысле смешанного произведения )

Пусть векторы некомпланарны и- параллелипипед, построенный на векторахкак на сторонах. Тогда :

Следствия:

1.

2. =

Т.2 ( Критерий компланарности )

- компланарны

Пусть - базис и,,

. Тогда

Двойное векторное произведение

О. Вектор называется двойным векторным произведением векторов.

Свойства двойного векторного произведения:

1)

2)

Базис. Координаты.

О. Аффинный базис (АБ) в пространстве – упорядоченная тройка некомпланарных векторов . Коэффициенты разложениявектора- координаты вектора в данном базисе.

Базис называется ортонормированным ( ОНБ), если базисные векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину.

Пусть и- два базиса – старый и новый. Разложим вектора нового базиса в старом :

Коэффициенты разложения образуют матрицу перехода от старого к новому базису.

О. Аффинная система координат (АСК) – четверка {О, }, где О – точка в пространстве ( начало АСК),- афинный базис.

Если - ОНБ, то система координат называется декартовой.

Пусть М – произвольная точка пространства. Вектор - радиус-вектор

точки М. Координаты точки определяются как координаты ее радиус-вектора.

Пусть , тогда- координаты точки М в данной АСК.

Пусть {О, } и- 2 афинные системы координат. Тогда координаты точки М в новой и старой АСК связаны соотношениями :

Где - координаты точки в старой АСК.