13 Лекции по аналитической геометрии Краткий конспект

Литература:

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. « Аналитическая геометрия»

2. Ильин В.А.,Ким Г.Д. « Линейная алгебра и аналитическая геометрия»

3. Беклемишев Д.В. « Курс аналитической геометрии и линейной алгебры»

4. Веселов А.П., Троицкий Е.В. « Лекции по аналитической геометрии»

5. Цубербиллер О.Н. « Задачи и упражнения по аналитической геометрии»

Векторная алгебра

О. Упорядоченную пару точек (А,В) на прямой будем называть направленным отрезком или фиксированным вектором ( Ф.В.) и обозначать . Векторбудем называть нулевым.

О. Расстояние между точками А и В будем называть длиной (модулем) Ф.В. и обозначать .

О. Ф.В. будем называтьколлинеарными, если они расположены на параллельных прямых, либо хотя один из них нулевой. Обозначение :

О. Коллинеарные Ф.В. будем называтьсонаправленными или прямоколлинерными, если лучи [AB) и [CD) имеют одинаковое направление, и противоположно направленными или антиколлинеарными, если лучи [AB) и [CD) имеют противоположное направление. Обозначение: исоответственно.

О. Векторы называютсякомпланарными, если они расположены в параллельных плоскостях.

О. Два Ф.В. называютя равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Обозначение:

Множество всех Ф.В. можно разбить на классы эквивалентности равных между собой Ф.В.. Класс эквивалентности Ф.В. называется свободным вектором или просто вектором. Обозначение : Таким образом, векторсостоит из всех Ф.В., равных. Обычно вместо символаиспользуется символ, который в зависимости от контекста читается как « вектор, порожденный Ф.В. » или «вектор, отложенный от точки А».

Векторы называются коллинеарными ( компланарными ), если коллинеарны

( компланарны) порождающие их вектора.

Линейные операции над векторами

Сложение векторов Сумма векторов определяется следующим образом. Отложим вектор от произвольной точки А, пусть В – конец этого вектора, т.е. . Затем отложим вектор от точки В, пусть . Суммой векторов называется вектор, порожденный Ф.В. .

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Очевидно, что этот же вектор для неколлинеарных векторов может быть получен как диагональ параллелограмма, построенного на векторах.

Вектор называется противоположным к векторуи обозначается.

Разность векторов называется вектор такой, что. Обозначение :.

Умножение вектора на число.Произведение вектора на число α – вектор α, удовлетворяющий условиям :

1) 2)

Свойства линейных операций :

.

Линейная зависимость векторов

Пусть - множество векторов и-действительные числа.- линейная комбинация векторов,

- коэффициенты линейной комбинации.

О. Множество векторов называется линейно зависимым, если существует ненулевой набор чисел, при котором

Т1 ( Критерий линейной зависимости)

Множество векторов линейно зависимо тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов линейно выражается через остальные вектора.

Т2 ( О линейно зависимой подсистеме)

Если множество векторов содержит линейно зависимое подмножество, то оно линейно зависимо.

Следствия.

1. Множество векторов, содержащее нуль-вектор линейно зависимо.

2. Если множество векторов линейно независимо, то всякое его подмножество линейно зависимо.

Т3 ( О линейной зависимости 2-х векторов )

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Лемма1 ( О разложении вектора в плоскости)

Пусть векторы компланарны и. Тогда существует единственный набор чиселтакой, что

Z. Упорядоченная тройка неколлинеарных векторов -базис в плоскости этих векторов и всякий компланарный с ними вектор можно разложить по базисным векторам : , коэффициенты разложенияназываются координатами векторав базисе .

Т4 ( О линейной зависимости 3-х векторов )

Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Лемма2 ( О разложении вектора в пространстве )

Пусть векторы некомпланарны. Тогда для любого векторанайдется единственный набор чиселтакой, что.

Z. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов -базис в пространстве и всякий вектор можно разложить по базисным векторам : , коэффициенты разложенияназываются координатами векторав базисе .

Базис называется ортогональным ( ОБ ), если базисные векторы попарно ортогональны.

Базис называется ортонормированным ( ОНБ ), если базисные векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину.

Т5 ( О линейной зависимости 4-х векторов )

Всякие 4 вектора линейно зависимы.