§2. Дифференциал функции

1. Понятие дифференциала функции

Если функция у=f(x) дифференцируема в точке x₀, т.е. имеет в этой точке конечную производную , то ее приращениеможно записать в виде

где .

Определение 1. Главная, линейная относительно часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается dy:

dy = . (3.1)

Принимая во внимание, что , окончательно получим

dy = . (3.2)

Пример1. Найти дифференциал функции у = x cos 3x.

Решение. Согласно определению дифференциала функции имеем

dy = (cos 3x  3x sin3x) dx.

Найти дифференциалы функций

143. y = x (x  3) 144.

145. y = 146. y =

147. y = 148. y =

149. y = 150. y = e^{sin x}

151. y = ln cos x 152. y = x ln x

153. y = 154. y =

2. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям Приближенное значение приращения функции

При достаточно малых приращение функции приближенно равно ее дифференциалу, т.е.y  dy и, следовательно,

y  . (3.3)

Пример 2. Найти приближенное значение приращения функции y=при изменении аргумента x от значения x₀=3 до x₁=3,01.

Решение. Воспользуемся формулой (2.3). Для этого вычислим

= x₁  x₀ = 3,01  3 = 0,01, тогда

у  .

Приближенное значение функции в точке

В соответствии с определением приращения функции y = f(x) в точке x₀ при приращении аргумента x (x0) y = f(x₀ + x)  f(x₀) и формулой (3.3) можно записать

f(x₀ + x)  f(x₀) + . (3.4)

Частными случаями формулы (3.4) являются выражения:

(1 + x)ⁿ  1 + nx (3.4a)

ln(1 + x)  x (3.4б)

sinx  x (3.4в)

tgx  x (3.4г)

Здесь, как и ранее предполагается, что x0.

Пример 3. Найти приближенное значение функции f(x) = (3x 5)⁵ в точке x₁=2,02.

Решение. Для вычислений воспользуемся формулой (3.4). Представим x₁ в виде x₁ = x₀ + x. Тогда x₀ = 2, x = 0,02.

f(2,02)=f(2 + 0,02)  f(2) +

f(2) = (3  2  5)⁵ = 1

= 15  (3  2  5)⁴ = 15

f(2,02) = (3  2,02  5)⁵  1 + 15  0,02 = 1,3

Пример 4. Вычислить (1,01)⁵, , ln(1,02), ln.

Решение

1. Воспользуемся формулой (3.4а). Для этого представим (1,01)⁵ в виде (1+0,01)⁵.

Тогда, полагая х = 0,01, n = 5, получим

(1,01)⁵ = (1 + 0,01)⁵  1 + 5  0,01 = 1,05.

2. Представив в виде (1 0,006)^1/6, согласно (3.4а), получим

(1  0,006)^1/6  1 + .

3. Учитывая, что ln(1,02) = ln(1 + 0,02) и полагая x=0,02, по формуле (3.4б) получим

ln(1,02) = ln(1 + 0,02)  0,02.

4. Аналогично

ln= ln(1 0,05)^1/5 = .

Найти приближенные значения приращения функций

155. y = 2x³ + 5 при изменении аргумента x от значения x₀ = 2 до x₁ = 2,001

156. у = 3x² + 5x + 1 при x₀ = 3 и x = 0,001

157. y = x³ + x  1 при x₀ = 2 и x = 0,01

158. y = ln x при x₀ = 10 и x = 0,01

159. y = x²  2x при x₀ = 3 и x = 0,01

Найти приближенные значения функций

160. у = 2x²  x + 1 в точке x₁ = 2,01

161. y = x² + 3x + 1 в точке x₁ = 3,02

162. y = в точке x₁ = 1,1

163. y=в точке x₁ = 3,032

164. y = в точке x₁ = 3,97

165. y = sin 2x в точке x₁ = 0,015

Вычислить приближенно

166. (1,025)¹⁰ 167. (9,06)² 168.(1,012)³

169. (9,95)³ 170. (1,005)¹⁰ 171. (0,975)⁴

172. 173.174.

175. 176.177.

178. ln(1,003e) 179. ln(1,05)⁵ 180. ln

181. ln0,98 182. ln183. ln(e²0,97)