Глава III. Дифференцирование

§ 1. Производная функции

1. Понятие производной функции

Определение 1. Производной функции у = f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когдастремится к нулю при условии, что этот предел существует, т.е.

.

Для производной функции у = f(x) употребляются следующие обозначения: или

Определение 2. Геометрический смысл производной функции f(x) в точке х₀ заключается в том, что она численно равна тангенсу угла наклона (угловому коэффициенту) касательной к положительному направлению оси Ох, проведенной к графику функции в этой точке.

Определение 3. Физический смысл производной функции f(x) в точке х₀ заключается в том, что она численно равна скорости изменения функции в данной точке.

2. Правила дифференцирования

1.= 0, С постоянная.

2. (CU)′^׳= СU^′, C − постоянная.

3. (UV.

4. UV.

5. , V0.

6. Производная сложной функции у = f[u(x)] равна произведению ее производной по промежуточному аргументу u(x) на производную этого аргумента по независимой переменной x:

или .

3. Формулы дифференцирования Простые функции Сложные функции

=x^1

e^x

= cos x = cos u

= sin x

=

=

Пример 1. Вычислить производные функций:

1. f(x) = 5 + x³ + 3x² + ;

2. f(x) = x∙sin x;

3. f(x)=.

Решение. Для вычисления производных воспользуемся правилами и формулами дифференцирования.

1. +

+= 3x² + 6x + .

2. .

3. ==

=.

Пример 2. Вычислить производные функций:

1. f(x) = ln(1+x²); 2. f(x) = .

Решение. Используя правило дифференцирования сложной функции, получим

1. ;

2. 

= .

Вычислить производные функций

1. у = x⁴ + 3x²  2x + 1 2. y = 7x⁷ + 3x²  4x + 1

3. y = 3x^2 4. y =

5. y = 2 6. y =

7. y = 8. y =

9. y = 10. y = 5 ln x  7 cos x + tg x

11. y = 12. y =

13. y = 14. у =

15. y = x cos x 16. y = x² tg x

17. y = 18. y =

19. y = 20. y =

21. y = 22. y =

23. y = 24. y = e^x  3^x

25. y = 26. y =

27. y = 28. y =

29. y = 30. y =

31. y = cos²x 32. y = sin²2x

33. y = sin(x² + 5x + 2) 34. y = cos

35. y = tg (x² + 3) 36. y =

37. y = ln sin x 38. y = ln tg 5x

39. y = ln cos x 40. y = ln (1 + cos x)

41. y = ln (x² + 2x) 42. y = ln (x²  3x + 7)

43. y = cos(ln x) 44. y = sin(ln x)

45. y = cos(cos x) 46. y = sin(cos x)

47. y = sin(e^x) 48. y = cos(e^2x)

49. y = 50. y = ln

51. y = ln ln 52. y = ln

53. y = sin² x³ 54. y = cos³

55. y = 56. y = sin(2^x)

57. y = 58. y = ln

59. y = e^{cos x} 60. y = e^{sin x}

61. y = e^1/x 62. y =

63. y = a^{sin x} 64. y =

65. y = 66. y =

67. y = 68. y =

69. y = 2 ^{sin 2x} 70. y = x^x

71. y = x^{sin x} 72. y = x^1/x

73. y = x^{cos x} 74. y = (tg x)^{sin x}