2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение 7. Функция f(x; у) называется однородной функцией своих аргументов k-го измерения (k-й степени), если при любом t имеет место тождество
f(tx; ty) = tk f(x; у).
Например, функция f(x; у) = х2 у – ху2 является однородной функцией третьего измерения, т. к.
f(tx; ty) = (tx)2 ty – tx (ty)2 = t3 ( x2y – xy2) = t3 f(x; у).
При k
= 0 имеем функцию нулевого измерения,
примером которой является функция f(x;
у) =
.
Действительно
f(tx;
ty)
=
.
Определение 8. Дифференциальное уравнение первого порядка у' = f(x; y) называется однородным, если f(x; y) – однородная функция нулевого измерения.
Данное уравнение можно представить в виде
P(x; у) dх + Q(x; у) dy = 0, (5.3)
где P(x; y) и Q(x; y) – однородные функции одного измерения.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка приводятся к дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки
у = z x,
где z = z(x) – новая неизвестная функция переменной х.
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение
(х2 – 2у2) dх + ху dу = 0.
Решение. Сопоставим данное уравнение с уравнением (5.3). Здесь
P(x; y) = x2 2y2 и Q(x; y) = xy – однородные функции второго измерения. Действительно
P(tx; ty) = (tx)2 2(ty)2 = t2 (x2 2y2) = t2 P(x; y), k = 2;
Q(tx; ty) = tx ty = t2 x y = t2 Q(x; у), k = 2.
Следовательно, данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка.
Положим у = z x, откуда
dу
= (z
x)'
dх
= (z'
x
+ z)
dх
= x
dх
+ z
dх
= x
dz
+ z
dх.
Подставим эти выражения у и dу в исходное уравнение.
(х2 2z2x2) dх + x z x (x dz + z dх) = 0,
откуда после раскрытия скобок и приведения подобных получим
х2(1 – z2) dх + x3 z dz = 0.
Видим, что в результате произведенной замены, получено дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим в нем переменные, поделив обе его части на х3(1 z2). Тогда
.
Для удобства умножим обе части последнего уравнения на 2 и проинтегрируем
;
= ln|z2
– 1| + ln|С|,
или
ln х2 = ln |С| |z2 – 1|.
Отсюда
х2
=
C
(z2
– 1), а обратная замена z
=
приводит к результату
х2
= C
,
или х4
= C
(у2
– х2).
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
ху' =
.
Решение . Разделим обе части уравнения на х и перепишем его в виде
у' =
.
Полученное уравнение
соответствует определению однородного
дифференцированного уравнения первого
порядка у' = f(x;
y),
здесь f(x;
y)
=
однородная функция нулевого измерения.
Положим z
=
,
или у = z
x,
тогда у' = x
z'
+ z.
Подставляя в уравнение выражения для
у и у', получим
,
илиx
dz
=
.
Разделим переменные,
поделив обе части на
,
.
Отсюда после интегрирования находим
arcsin z = ln|х| + ln|С|, или arcsin z = ln|Cх|.
Заменяя z
на
,
будем иметь общий интегралarcsin
=
ln|Сх|.
Отсюда общее решение: у= х sin ln|Сх|.
При разделении
переменных мы делили обе части уравнения
на
,
поэтому могли потерять решения, которые
обращают в ноль это произведение.
Положим
=
0 (х
0), откуда у = х.
Непосредственная проверка показывает,
что функции у = х и у = х
также являются решениями исходного
уравнения.
Решить дифференциальные уравнения:
25. (х – у) dх + х dу = 0
26. (х – у) у dх – х2 dу = 0
27. (х2 – 2ху) у' = ху – у2
28. х3 dу – у (х2 + у2) dх = 0
29.
у + х у' = 0
30. 2 х у у' + х2 2у2 = 0
31. х у у' = х2 + у2
32. х
у'
у =
Найти частные решения дифференциальных уравнений:
33. у' х – у + х = 0, если у = 0 при х = 1
34. х у2 у' = х3 + у3, если у = 3 при х = 1
35. у2 dх = (х у – х2) dу, если у =1 при х = 1
36. х2у' = ху + у2, если у = 1 при х = 1
37. ху + у2 = (2х2 + ху) у', если у = 1 при х = 1
38. у' (х2 + ху) = у2, если у = 2 при х = 2.